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(1997•海淀區(qū))如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于半圓O,AB為直徑,過點D的切線交BC的延長線于點E.若BE⊥DE,AD+DC=40,⊙O的半徑為
503
,求BC的長及tan∠CDB的值.
分析:連接AC,由AB為直徑,利用直徑所對的圓周角為直角得到一對直角相等,再由BE垂直于DE得到∠E為直角,進而得到一對同位角相等,利用同位角相等兩直線平行得到DE與AC平行,利用兩直線平行內(nèi)錯角相等得到一對角相等,再利用弦切角等于夾弧所對的圓周角,等量代換及等角對等邊得到AD=DC,由AD+DC=40求出AD=DC=20,由圓四邊形的外角等于它的內(nèi)對角得到一對角相等,再由一對直角相等得到三角形DEC與三角形ABD相似,由AD,DC,AB的長求出CE的長,根據(jù)勾股定理求出DE的長,再利用切割線定理求出EB的長,由EB-EC即可求出BC的長,根據(jù)同弧所對的圓周角相等得到∠CDB=∠CAB,在直角三角形ABC中,利用銳角三角函數(shù)定義求出tan∠CAB的值,即為tan∠CDB的值.
解答:解:連接AC,
∵AB為直徑,BE⊥DE,
∴∠ADB=∠ACB=∠E=90°,
∴DE∥AC,
∴∠EDC=∠DCA,
∵ED切圓O于點D,
∴∠EDC=∠DAC,
∴∠DCA=∠DAC,
∴AD=DC,
∵AD+DC=40,
∴AD=DC=20,
∵圓O的半徑為
50
3
,AB為直徑,
∴AB=
100
3
,
∵四邊形ABCD內(nèi)接于半圓O,
∴∠DCE=∠DAB,
又∵∠E=∠ADB=90°,
∴△CDE∽△ABD,
CE
AD
=
CD
AB
=
20
100
3
=
3
5

∴CE=
3
5
AD=
3
5
×20=12,
∴DE=
CD2-CE2
=
202-122
=16,
∵DE是切線,ECB是割線,
∴ED2=EC•EB,
∴EB=
ED2
EC
=
162
12
=
64
3
,
∴BC=BE-CE=
28
3
,
∴AC=
AB2-BC2
=
(
100
3
)
2
-(
28
3
)
2
=32,
∴tan∠CAB=
BC
AC
=
28
3
32
=
7
24
,
∵∠CDB=∠CAB,
∴tan∠CDB=tan∠CAB=
7
24

則BC=
28
3
,tan∠CDB=
7
24
點評:此題考查了切線的性質(zhì),勾股定理,圓周角定理,以及相似三角形的判定與性質(zhì),熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
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