Question

已知：如圖所示，直線l的解析式為，并且與x軸、y軸分別交于點A、B．
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）半徑為0.75的⊙O₁，以0.4個單位/秒的速度從原點向x軸正方向運動，問在什么時刻與直線l相切；
（3）在第（2）題的條件下，在⊙O₁運動的同時，與之大小相同的⊙O₂從點B出發，沿BA方向運動，兩圓經過的區域重疊部分是什么形狀的圖形？并求出其面積．

Answer 1

解：（1）直線l的解析式為，并且與x軸、y軸分別交于點A、B．
當y=0時，x=4，
當x=0時，y=-3，
故A、B兩點的坐標分別為A（4，0）B（0，-3）；

（2）若動圓的圓心在C處時與直線l相切，設切點為D，
∵A（4，0）B（0，-3），
∴AB==5，
如圖所示，連接CD，則CD⊥AD．由∠CAD=∠BAO，∠CDA=∠BOA=90°，
可知Rt△ACD∽Rt△ABO．
∴=，即=，則AC=1.25．
此時OC=4-1.25=2.75，t==2.75÷0.4=6.875（s）．
根據對稱性，圓C還可能在直線l的右側，與直線相切，
此時OC=4+1.25=5.25，t==5.25÷0.4=13.125（s）．
∴t=6.785s或t=13.125s時圓與直線l相切．

（3）兩圓經過的區域重疊部分為菱形，根據題意可知菱形的邊長分別為1.25，
菱形的高為0.6，故S=0.6×1.25=0.75，
兩圓經過的區域重疊部分的面積為0.75．
分析：（1）根據直線l的解析式為直接求出A、B兩點坐標即可；
（2）當圓與直線相切時，根據直線1與x軸的角度可求出圓心坐標，然后再求出時間t．
（3）兩圓經過的區域重疊部分為菱形，根據菱形面積公式即可求得面積．
點評：本題主要考查了一次函數的綜合應用，是各地中考的熱點，在解題時注意數形結合思想的運用，同學們要加強訓練，屬于中檔題．