Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F是AD延長線上一點，且DF=BE．

（1）①試說明CE=CF，∠BCE=∠DCF；

②如圖1，若點G在AD上，且∠GCE=45°，則GE=GF成立嗎？為什么？

（2）運用（1）中積累的經驗和知識，完成下題：

如圖2，在梯形ABCG中，AG∥BC，BC＞AG，∠B=90°，AB=BC=6，E是AB上 一點，且∠GCE=45°，BE=2，求GE的長．

Answer 1

【答案】（1）成立（2）GE=5

【解析】

試題分析：（1）①根據正方形的性質可得BC=CD，再利用“邊角邊”證明△BCE和△DCF全等，根據全等三角形對應邊相等、對應角相等的單結論；

②根據全等三角形對應角相等可得∠BCE=∠DCF，再求出∠GCF=45°，從而得到∠GCF=∠GCE，再利用“邊角邊”證明△GCE和△GCF全等，根據全等三角形對應邊相等可得EG=GF；

（2）設EG=x，根據（1）的結論表示出AG，再求出AE，然后在Rt△AEG中，利用勾股定理列出方程求解即可．

（1）①證明：在正方形ABCD中，BC=CD，

在△BCE和△DCF中，，

∴△BCE≌△DCF（SAS），

∴CE=CF；，∠BCE=∠DCF

②EG=BE+GD．

理由如下：∵△BCE≌△DCF，

∴∠BCE=∠DCF，

∵∠GCE=45°，

∴∠GCF=∠GCD+∠DCF=∠GCD+∠BCE=90°﹣45°=45°，

∴∠GCF=∠GCE，

在△GCE和△GCF中，，

∴△GCE≌△GCF（SAS），

∴EG=GF；

（2）設EG=x，

由（1）可知，BE+（6﹣AG）=EG，

即2+（6﹣AG）=x，

∴AG=8﹣x，

又∵AE=AB﹣BE=6﹣2=4，

∴在Rt△AEG中，AE2+AG2=EG2，

即42+（8﹣x）2=x2，

解得x=5，

即GE=5．