Question

實際問題：某學校共有18個教學班，每班的學生數都是40人．為了解學生課余時間上網情況，學校打算做一次抽樣調查，如果要確保全校抽取出來的學生中至少有10人在同一班級，那么全校最少需抽取多少名學生？

建立模型：為解決上面的“實際問題”，我們先建立并研究下面從口袋中摸球的數學模型：

在不透明的口袋中裝有紅、黃、白三種顏色的小球各20個（除顏色外完全相同），現要確保從口袋中隨機摸出的小球至少有10個是同色的，則最少需摸出多少個小球？

為了找到解決問題的辦法，我們可把上述問題簡單化：

（1）我們首先考慮最簡單的情況：即要確保從口袋中摸出的小球至少有2個是同色的，則最少需摸出多少個小球？

假若從袋中隨機摸出3個小球，它們的顏色可能會出現多種情況，其中最不利的情況就是它們的顏色各不相同，那么只需再從袋中摸出1個小球就可確保至少有2個小球同色，即最少需摸出小球的個數是：（如圖①）；

（2）若要確保從口袋中摸出的小球至少有3個是同色的呢？

我們只需在（1）的基礎上，再從袋中摸出3個小球，就可確保至少有3個小球同色，即最少需摸出小球的個數是：（如圖②）

（3）若要確保從口袋中摸出的小球至少有4個是同色的呢？

我們只需在（2）的基礎上，再從袋中摸出3個小球，就可確保至少有4個小球同色，即最少需摸出小球的個數是：（如圖③）：

（10）若要確保從口袋中摸出的小球至少有10個是同色的呢？

我們只需在（9）的基礎上，再從袋中摸出3個小球，就可確保至少有10個小球同色，即最少需摸出小球的個數是：（如圖⑩）

模型拓展一：在不透明的口袋中裝有紅、黃、白、藍、綠五種顏色的小球各20分（除顏色外完全相同），現從袋中隨機摸球：

（1）若要確保摸出的小球至少有2個同色，則最少需摸出小球的個數是          ；

（2）若要確保摸出的小球至少有10個同色，則最少需摸出小球的個數是         ；

（3）若要確保摸出的小球至少有個同色（），則最少需摸出小球的個數是        ．

模型拓展二：在不透明口袋中裝有種顏色的小球各20個（除顏色外完全相同），現從袋中隨機摸球：

（1）若要確保摸出的小球至少有2個同色，則最少需摸出小球的個數是           ．

（2）若要確保摸出的小球至少有個同色（），則最少需摸出小球的個數是       ．

問題解決：（1）請把本題中的“實際問題”轉化為一個從口袋中摸球的數學模型；

（2）根據（1）中建立的數學模型，求出全校最少需抽取多少名學生．

Answer 1

模型拓展一：（1）1+5=6                        

（2）1+5×9=46   

（3）1+5（n－1）

模型拓展二：（1）1＋m  

（2）1+m(n－1)       

問題解決：（1）在不透明口袋中放入18種顏色的小球（小球除顏色外完全相同）各40個，現要確保從口袋中隨機摸出的小球至少有10個是同色的，則最少需摸出多少個小球？                     　　

（2）1+18×(10－1) =163