Question

【題目】如圖，在△ABD中，AB=AD，以AB為直徑的⊙F交BD于點C，交AD與點E，CG⊥AD于點G．

（1）求證：GC是⊙F的切線；

（2）填空：①若△BCF的面積為15，則△BDA的面積為 ．

②當∠GCD的度數為 時，四邊形EFCD是菱形．

Answer 1

【答案】證明見解析（2）60（3）30°

【解析】試題分析：（1）由等腰三角形的性質得出∠D=∠BCF，證出CF∥AD，由已知條件得出CG⊥CF，即可得出結論；

（2）①根據平行線的性質得出△BCF∽△BDA，得出，△BCF的面積：△BDA的面積=1：4，即可得出結果；

②證出△BCF是等邊三角形，得出∠B=60°，CF=BF=AB，證出△ABD是等邊三角形，CF=AD，證出△AEF是等邊三角形，得出AE=AF=AB=AD，因此CF=DE，證出四邊形EFCD是平行四邊形，即可得出結論．

試題解析：（1）∵AB=AD，FB=FC，

∴∠B=∠D，∠B=∠BCF，

∴∠D=∠BCF，

∴CF∥AD，

∵CG⊥AD，

∴CG⊥CF，

∴GC是⊙F的切線；

（2）解：①∵CF∥AD，

∴△BCF∽△BDA，

∴=，△BCF的面積：△BDA的面積=1：4，

∴△BDA的面積=4△BCF的面積=4×15=60；

故答案為：60；

②當∠GCD的度數為30°時，四邊形EFCD是菱形．理由如下：

∵CG⊥CF，∠GCD=30°，

∴∠FCB=60°，

∵FB=FC，

∴△BCF是等邊三角形，

∴∠B=60°，CF=BF=AB，

∵AB=AD，

∴△ABD是等邊三角形，CF=AD，

∴∠A=60°，

∵AF=EF，

∴△AEF是等邊三角形，

∴AE=AF=AB=AD，

∴CF=DE，

又∵CF∥AD，

∴四邊形EFCD是平行四邊形，

∵CF=EF，

∴四邊形EFCD是菱形；

故答案為：30°．