Question

如圖，已知長方形ABCD中，AD=6cm，AB=4cm，點E為AD的中點．若點P在線段AB上以1cm/s的速度由點A向點B運動，同時，點Q在線段BC上由點B向點C運動．
（1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經過1秒后，△AEP與△BPQ是否全等？請說明理由，并判斷此時線段PE和線段PQ的位置關系；
（2）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，運動時間為t秒，設△PEQ的面積為Scm²，請用t的代數式表示S；
（3）若點Q的運動速度與點

y=xy 3=4-y

P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能夠使△AEP與△BPQ全等？

Answer 1

分析：（1）本題很容易證明△AEP≌△BPQ，這樣可得出∠AEP=∠BPQ，因為∠AEP+∠APE=90°，可得出∠BPQ+∠APE=90°，這即可判斷出結論．
（2）可分別用t表示出AP、BQ、BP、CQ的長度，然后用矩形的面積減去△APE、△BPQ及梯形EDCQ的面積即可得出△PEQ的面積為Scm²．
（3）設Q運動的速度為xcm/s，則根據△AEP與△BQP得出AP=BP、AE=BQ或AP=BQ，AE=BP，從而可列出方程組，解出即可得出答案．

解答：解：（1）∵長方形ABCD，
∴∠A=∠B=90°，
∵點E為AD的中點，AD=6cm，
∴AE=3cm，
又∵P和Q的速度相等可得出AP=BQ=1cm，BP=3，
∴AE=BP，
在△AEP和△BQP中，

AP=BQ ∠A=∠B AE=BP

，
∴△AEP≌△BPQ，
∴∠AEP=∠BPQ，
又∵∠AEP+∠APE=90°，
故可得出∠BPQ+∠APE=90°，即∠EPQ=90°，
即EP⊥PQ．

（2）連接QE，由題意得：AP=BQ=t，BP=4-t，CQ=6-t，
S_PEQ=S_ABCD-S_BPQ-S_EDCQ-S_APE
=AD×AB-

1

2

AE×AP-

1

2

BP×BQ-

1

2

（DE+CQ）×CD
=24-

1

2

×3t-

1

2

t（4-t）-

1

2

×4（3+6-t）
=

t2

2

-

3

2

t+6．

（3）設點Q的運動速度為xcm/s，
①經過y秒后，△AEP≌△BQP，則AP=BP，AE=BQ，
∴

y=4-y 3=xy

，
解得：

x= 3 2 y=2

，
即點Q的運動速度為

3

2

cm/s時能使兩三角形全等．
②經過y秒后，△AEP≌△BPQ，則AP=BQ，AE=BP，
∴

y=xy 3=4-y

，
解得：

x=1 y=1

，
即點Q的運動速度為1cm/s時能使兩三角形全等．

點評：本題考查全等三角形的判定及性質，涉及了動點的問題使本題的難度加大了，解答此類題目時，要注意將動點的運用時間t和速度的乘積當作線段的長度來看待，這樣就能利用幾何知識解答代數問題了．