Question

【題目】阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC>AB，M是的中點，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點，即CD=AB+BD．

下面是運用“截長法”證明CD=AB+BD的部分證明過程．

證明：如圖2，在CB上截取CG=AB，連接MA，MB，MC和MG．

∵M是的中點，

∴MA=MC

任務：（1）請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；

（2）填空：如圖（3），已知等邊△ABC內接于⊙O，AB=2，D為⊙O上 一點, ，AE⊥BD與點E,則△BDC的周長是 ．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】試題分析: （1）首先證明△MBA≌△MGC（SAS），進而得出MB＝MG，再利用等腰三角形的性質得出BD＝GD，即可得出答案；

（2）方法一、首先證明△ABF≌ACD（SAS），進而得出AF＝AD，以及CD＋DE＝BE，進而求出DE的長即可得出答案．

方法二、先求出BE，再用（1）的結論得出BE＝CD＋DE，即可得出結論．

試題解析:

（1）證明：如圖2，在CB上截取CG＝AB，連接MA，MB，MC和MG．

∵M是的中點，

∴MA＝MC．

在△MBA和△MGC中

∴△MBA≌△MGC（SAS），

∴MB＝MG，

又∵MD⊥BC，

∴BD＝GD，

∴DC＝GC＋GD＝AB＋BD；

（2）解：方法一、如圖3，截取BF＝CD，連接AF，AD，CD，

由題意可得：AB＝AC，∠ABF＝∠ACD，

在△ABF和△ACD中

∵，

∴△ABF≌ACD（SAS），

∴AF＝AD，

∵AE⊥BD，

∴FE＝DE，則CD＋DE＝BE，

∵∠ABD＝45°，

∴BE＝，

則△BDC的周長是2＋2．

故答案為：2＋2．

方法二、∵△ABC是等邊三角形，

∴BC＝AB＝2，∠ABC＝∠ACB，

∴由（1）的結論得，BE＝DE＋CD，

在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，AB＝2，

∴BE＝，

∴DE＋CD＝，

∴則△BDC的周長是BC＋BD＋CD＝BC＋BE＋DE＋CD＝2＋2．

故答案為：2＋2．

點睛: 此題主要考查了全等三角形的判定與性質以及等腰三角形以及等邊三角形的性質，正確作出輔助線利用全等三角形的判定與性質解題是解題關鍵．