Question

如圖：AB和CD是兩堵和地面BC垂直的墻，兩堵墻之間的距離是14米，一個10米長的梯子下端支在地面上某點，上端靠在墻上．
（1）梯子上端靠在AB上一點E處，梯子與地面的夾角∠EMB=60°，保持下端M點不變，把梯子上端靠在CD上一點F處，梯子與地面的夾角∠FMC的正切值等于多少？
（2）如果把梯子下端固定在地面上某一點N處時，可以使梯子上端靠墻AB和靠墻CD得到的兩個三角形全等，求這時BN的長度．

Answer 1

解：（1）在Rt△EBM中，
∵∠EMB=60°，EM=10，
∴cos60°=，
BM=EMcos60°=10×=5，
∴MC=14-5=9（m），
∵FM=10，
∴FC==，
∴tan∠FMC=；
答：梯子與地面的夾角∠FMC的正切值等于；

（2）當BN=NC時，EN=FN=10，
在Rt△EBN和Rt△FCN中，
∵，
∴Rt△EBN≌Rt△FCN（HL），
此時N為BC中點，故BN=7，
當BN=FC時，
在Rt△EBN和Rt△NCF中，
∵，
∴Rt△EBN≌Rt△NCF（HL），
設BN=x，則NC=14-x，FC=x，
∵FN ²=NC ²+FC ²，
∴10 ²=（14-x）²+x ²，
解得：x₁=6，x₂=8，
故BN=6或8．
綜上所述：BN的長為6，7，8時，可以使梯子上端靠墻AB和靠墻CD得到的兩個三角形全等．
分析：（1）利用cos60°=，求出BM的長，進而利用勾股定理求出FC，即可求出梯子與地面的夾角∠FMC的正切值；
（2）利用當BN=NC時，當BN=FC時根據全等三角形的判定分別求出BN的長即可．
點評：此題主要考查了解直角三角形的應用以及全等三角形的判定和性質以及一元二次方程的應用等知識，正確進行分類討論是解題關鍵．