Question

【題目】綜合題。
（1）如圖①，△ABC中，點(diǎn)D、E在邊BC上，AE平分∠BAC，AD⊥BC，∠C=40°，∠B=60°，求：①∠CAE的度數(shù)；②∠DAE的度數(shù)．
（2）如圖②，若把（1）中的條件“AD⊥BC”變成“F為AE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且FD⊥BC”，其他條件不變，求出∠DFE的度數(shù)．
（3）在△ABC中，AE平分∠BAC，若F為EA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，F(xiàn)D⊥BC，且∠C=α，∠B=β（β＞α），試猜想∠DFE的度數(shù)（用α，β表示），請(qǐng)自己作出對(duì)應(yīng)圖形并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖（1）．

∵AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，

∴∠BAD=90°﹣∠B=90°﹣60°=30°，

∵∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣60°﹣40°=80°，

而AE平分∠BAC，

∴∠BAE= ∠BAC= ×80°=40°，

∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=40°﹣30°=10°；

（2）解：如圖2中，作AH⊥BC于H．

由（1）可知∠HAE=10°，

∵AH∥EF，

∴∠DFE=∠HAE=10°

（3）解：結(jié)論：∠DFE= （∠B﹣∠C）．理由如下：

如圖3中，作AH⊥BC于H，F(xiàn)D⊥BC于D．

∵∠HAE=∠EAB﹣∠BAH，∠BAH=90°﹣∠B，∠BAE= （180°﹣∠B﹣∠C），

∴∠HAE=90°﹣ ∠B﹣ ∠C﹣（90°﹣∠B）

= （∠B﹣∠C），

∵AH∥FD，

∴∠DFE=∠HAE，

∴∠DFE= （∠B﹣∠C）．

【解析】（1）如圖1中，求出∠BAD，∠BAE，根據(jù)∠DAE=∠BAE﹣∠BAD即可解決問(wèn)題．（2）如圖2中，作AH⊥BC于H．利用（1）中結(jié)論，再證明∠DFE=∠HAE即可．（3）結(jié)論：∠DFE= （∠B﹣∠C）．如圖3中，作AH⊥BC于H，F(xiàn)D⊥BC于D．由∠HAE=∠EAB﹣∠BAH，∠BAH=90°﹣∠B，∠BAE= （180°﹣∠B﹣∠C）推出∠HAE=90°﹣ ∠B﹣ ∠C﹣（90°﹣∠B）= （∠B﹣∠C），由AH∥FD，推出∠DFE=∠HAE，即可解決問(wèn)題．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用三角形的內(nèi)角和外角和三角形的外角的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握三角形的三個(gè)內(nèi)角中，只可能有一個(gè)內(nèi)角是直角或鈍角；直角三角形的兩個(gè)銳角互余；三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角；三角形一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫三角形的外角；三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角．