Question

已知：線段OA⊥OB，點C為OB中點，D為線段OA上一點．連接AC，BD交于點P．
（1）如圖1，當OA=OB，且=時，求的值；
（2）如圖2，當OA=OB，且時，①=______；②證明：∠BPC=∠A；
（3）如圖3，當AD：AO：OB=1：n：時，直接寫出tan∠BPC的值．

Answer 1

解：（1）過C作CE∥BD交AO于點E，如圖，
∵點C為OB中點，
∴CE為△OBD的中位線，
∴DE=OE，
∵PD∥CE，
∴=，
又∵=，
∴AD=DO，
∴AD=2DE，
∴=2；
（2）①過C作CE∥BD交AO于點E，如圖，
∵點C為OB中點，
∴CE為△OBD的中位線，
∴DE=OE，
∵PD∥CE，
∴=，
又∵=，
∴DO=3AD，
∴2DE=3AD，
∴AD=DE，
∴=；
②設OB=8a，
∴OA=OB=8a，OC=4a，
AD=2a，DE=OE=3a，
而OA⊥OB，
∴∠COE=90°，
在Rt△OCE中，OC=4a，OE=3a，則CE==5a，
∴EC=EA，
∴∠ACE=∠A，
而CE∥BD，
∴∠BPC=∠ACE，
∴∠BPC=∠A；
故答案為；
（3）過D作DF⊥AC，垂足為F，過C作CE∥BD交AO于點E，如圖，
設AD=a，則AO=na，OB=2a，
∵點C為OB中點，
∴CO=a，
在Rt△ACO中，AC==a，
又∵Rt△ADF∽Rt△ACO，
∴AF：AO=DF：OC=AD：AC，即AF：na=DF：a=a：a，
∴AF=a，DF=，
又∵PD∥CE，
∴AP：AC=AD：AE，即AP：a=a：a，
∴AP=，
∴PF=AP-AF=a，
∴tan∠FPD===．
∴tan∠BPC=．
分析：（1）過C作CE∥BD交AO于點E，則CE為△OBD的中位線，得到DE=OE，由PD∥CE，根據平行線分線段成比例定理得=，又=得AD=DO，則有AD=2DE，即可得到=2；
（2）①與（1）不同的是=則DO=3AD，得2DE=3AD即AD=DE，則=；②設OB=8a，則OA=OB=8a，OC=4a，AD=2a，DE=OE=3a，根據勾股定理得到CE==5a，則有EC=EA，得到∠ACE=∠A，而∠BPC=∠ACE，即可得到結論；
（3）過D作DF⊥AC，垂足為F，過C作CE∥BD交AO于點E，設AD=a，則AO=na，OB=2a，由點C為OB中點，則CO=a，利用勾股定理可計算得AC=a，易證得Rt△ADF∽Rt△ACO，得到AF：AO=DF：OC=AD：AC，即AF：na=DF：a=a：a，求出AF=a，DF=，再根據平行線分線段成比例定理得到AP：AC=AD：AE，即AP：a=a：a，求出AP=，則PF=AP-AF=a，然后根據正切的定義即可得到tan∠FPD，從而得到tan∠BPC的值．
點評：本題考查了平行線分線段成比例定理：如果一組平行線被兩條直線所截，那么所截得的線段對應成比例．也考查了三角形中位線的性質、勾股定理以及銳角三角函數的定義．