Question

已知甲同學手中藏有三張分別標有數字，，1的卡片，乙同學手中藏有三張分別標有數字1，3，2的卡片，卡片的外形相同，現從甲、乙兩人手中各任取一張卡片，并將它們的數字分別記為a、b．
⑴請你用樹形圖或列表法列出所有可能的結果；
⑵現制訂這樣一個游戲規則，若所選出的a、b能使ax²＋bx＋1＝0有兩個不相等的實數根，則稱甲勝；否則乙勝，請問這樣的游戲規則公平嗎？請你用概率知識解釋．

Answer 1

(1)畫圖見解析；（2）不公平.

試題分析：（1）首先根據題意畫出樹狀圖，然后根據樹狀圖即可求得所有等可能的結果；
（2）利用一元二次方程根的判別式，即可判定各種情況下根的情況，然后利用概率公式求解即可求得甲、乙獲勝的概率，比較概率大小，即可確定這樣的游戲規是否公平．
試題解析：（1）畫樹狀圖得：

∵（a，b）的可能結果有（，1）、（，3）、（，2）、（，1）、（，3）、（，2）、（1，1）、（1，3）及（1，2），
∴（a，b）取值結果共有9種；
（2）∵當a=，b=1時，△=b²-4ac=-1＜0，此時ax²+bx+1=0無實數根，
當a=，b=3時，△=b²-4ac=7＞0，此時ax²+bx+1=0有兩個不相等的實數根，
當a=，b=2時，△=b²-4ac=2＞0，此時ax²+bx+1=0有兩個不相等的實數根，
當a=，b=1時，△=b²-4ac=0，此時ax²+bx+1=0有兩個相等的實數根，
當a=，b=3時，△=b²-4ac=8＞0，此時ax²+bx+1=0有兩個不相等的實數根，
當a=，b=2時，△=b²-4ac=3＞0，此時ax²+bx+1=0有兩個不相等的實數根，
當a=1，b=1時，△=b²-4ac=-3＜0，此時ax²+bx+1=0無實數根，
當a=1，b=3時，△=b²-4ac=5＞0，此時ax²+bx+1=0有兩個不相等的實數根，
當a=1，b=2時，△=b²-4ac=0，此時ax²+bx+1=0有兩個相等的實數根，
∴P（甲獲勝）=P（△＞0）=＞P（乙獲勝）=，
∴這樣的游戲規則對甲有利，不公平．
考點: 1.游戲公平性；2.根的判別式；3.列表法與樹狀圖法．