Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點D，E，過點D作DF⊥AC，垂足為點F．

（1）求證：直線DF是⊙O的切線；

（2）求證：BC2＝4CFAC；

（3）若⊙O的半徑為2，∠CDF＝15°，求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）4π﹣3

【解析】

（1）如圖所示，連接OD，證明∠CDF+∠ODB＝90°，即可求解；

（2）證明△CFD∽△CDA，則CD2＝CFAC，即BC2＝4CFAC；

（3）S陰影部分＝S扇形OAE﹣S△OAE即可求解．

解：（1）如圖所示，連接OD，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C，

∵OB＝OD，

∴∠ODB＝∠ABC＝∠C，

∵DF⊥AC，

∴∠CDF+∠C＝90°，

∴∠CDF+∠ODB＝90°，

∴∠ODF＝90°，

∴直線DF是⊙O的切線；

（2）連接AD，則AD⊥BC，則AB＝AC，

則DB＝DC=BC，

∵∠CDF+∠C＝90°，∠C+∠DAC＝90°，

∴∠CDF＝∠DAC，

∵∠DFC＝∠ADC＝90°，

∴△CFD∽△CDA，

∴CD2＝CFAC，即BC2＝4CFAC；

（3）連接OE，

∵∠CDF＝15°，∠C＝75°，

∴∠OAE＝30°＝∠OEA，

∴∠AOE＝120°，

S△OAE＝AE×OEsin∠OEA＝×2×2×cos30°×2×sin30°＝3，

S陰影部分＝S扇形OAE﹣S△OAE＝×π×（2）2﹣3＝4π﹣3．