Question

【題目】如圖，在△ABC中，AC：BC：AB＝3：4：5，⊙O沿著△ABC的內部邊緣滾動一圈，若⊙O的半徑為1，且圓心O運動的路徑長為18，則△ABC的周長為_____．

Answer 1

【答案】30

【解析】

如圖，首先利用勾股定理判定△ABC是直角三角形，由題意得圓心O所能達到的區域是△DEG，且與△ABC三邊相切，設切點分別為G、H、P、Q、M、N，連接DH、DG、EP、EQ、FM、FN，根據切線性質可得：AG＝AH，PC＝CQ，BN＝BM，DG、EP分別垂直于AC，EQ、FN分別垂直于BC，FM、DH分別垂直于AB，繼而則有矩形DEPG、矩形EQNF、矩形DFMH，從而可知DE＝GP，EF＝QN，DF＝HM，DE∥GP，DF∥HM，EF∥QN，∠PEF＝90°,根據題意可知四邊形CPEQ是邊長為1的正方形，根據相似三角形的判定可得△DEF∽△ACB，根據相似三角形的性質可知：DE∶EF∶FD＝AC∶CB∶BA＝3∶4∶5，進而根據圓心O運動的路徑長列出方程，求解算出DE、EF、FD的長，根據矩形的性質可得：GP、QN、MH的長，根據切線長定理可設：AG＝AH＝x，BN＝BM＝y，根據線段的和差表示出AC、BC、AB的長，進而根據AC∶CB∶BA＝3∶4∶5列出比例式，繼而求出x、y的值，進而即可求解△ABC的周長．

∵AC∶CB∶BA＝3∶4∶5，

設AC＝3a，CB＝4a，BA＝5a（a＞0）

∴

∴△ABC是直角三角形，

設⊙O沿著△ABC的內部邊緣滾動一圈，如圖所示，

連接DE、EF、DF，

設切點分別為G、H、P、Q、M、N，

連接DH、DG、EP、EQ、FM、FN，

根據切線性質可得：

AG＝AH，PC＝CQ，BN＝BM

DG、EP分別垂直于AC，EQ、FN分別垂直于BC，FM、DH分別垂直于AB，

∴DG∥EP，EQ∥FN，FM∥DH,

∵⊙O的半徑為1

∴DG＝DH＝PE＝QE＝FN＝FM＝1，

則有矩形DEPG、矩形EQNF、矩形DFMH，

∴DE＝GP，EF＝QN，DF＝HM，DE∥GP，DF∥HM，EF∥QN,∠PEF＝90°

又∵∠CPE＝∠CQE＝90°, PE＝QE＝1

∴四邊形CPEQ是正方形，

∴PC＝PE＝EQ＝CQ＝1，

∵⊙O的半徑為1，且圓心O運動的路徑長為18，

∴DE+EF+DF＝18，

∵DE∥AC，DF∥AB，EF∥BC，

∴∠DEF＝∠ACB，∠DFE＝∠ABC，

∴△DEF∽△ABC，

∴DE：EF：DF＝AC：BC：AB＝3：4：5，

設DE＝3k（k＞0），則EF＝4k，DF＝5k，

∵DE+EF+DF＝18，

∴3k+4k+5k＝18，

解得k＝，

∴DE＝3k＝，EF＝4k＝6，DF＝5k＝，

根據切線長定理，

設AG＝AH＝x，BN＝BM＝y，

則AC＝AG+GP+CP＝x++1＝x+5．5，

BC＝CQ+QN+BN＝1+6+y＝y+7，

AB＝AH+HM+BM＝x++y＝x+y+7．5，

∵AC：BC：AB＝3：4：5，

∴（x+5．5）：（y+7）：（x+y+7．5）＝3：4：5，

解得x＝2，y＝3，

∴AC＝7．5，BC＝10，AB＝12．5，

∴AC+BC+AB＝30．

所以△ABC的周長為30．

故答案為30．