Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-

2

3

x²+bx+c經過A（0，-4）、B（x₁，0）、C（x₂，0）三點，且x₂-x₁=5．
（1）求b、c的值；
（2）在拋物線上求一點D，使得四邊形BDCE是以BC為對角線的菱形；
（3）在拋物線上是否存在一點P，使得四邊形BPOH是以OB為對角線的菱形？若存在，求出點P的坐標，并判斷這個菱形是否為正方形；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）解法一：∵拋物線y=-

2

3

x²+bx+c經過點A（0，-4），
∴c=-4
又∵由題意可知，x₁、x₂是方程-

2

3

x²+bx+c=0的兩個根，
∴x₁+x₂=

3

2

b，x₁x₂=-

3

2

c
由已知得（x₂-x₁）²=25
又∵（x₂-x₁）²=（x₂+x₁）²-4x₁x₂
=

9

4

b²-24
∴

9

4

b²-24=25
解得b=±

14

3

當b=

14

3

時，拋物線與x軸的交點在x軸的正半軸上，不合題意，舍去．
∴b=-

14

3

．
解法二：∵x₁、x₂是方程-

2

3

x²+bx+c=0的兩個根，
即方程2x²-3bx+12=0的兩個根．
∴x=

3b± 9b2-96

4

，
∴x₂-x₁=

9b2-96

2

=5，
解得b=±

14

3

當b=

14

3

時，拋物線與x軸的交點在x軸的正半軸上，不合題意，舍去．
∴b=-

14

3

．

（2）∵四邊形BDCE是以BC為對角線的菱形，根據菱形的性質，點D必在拋物線的對稱軸上，
又∵y=-

2

3

x²-

14

3

x-4=-

2

3

（x+

7

2

）²+

25

6

∴拋物線的頂點（-

7

2

，

25

6

）即為所求的點D．

（3）∵四邊形BPOH是以OB為對角線的菱形，點B的坐標為（-6，0），根據菱形的性質，點P必是直線x=-3與
拋物線y=-

2

3

x²-

14

3

x-4的交點，
∴當x=-3時，y=-

2

3

×（-3）²-

14

3

×（-3）-4=4，
∴在拋物線上存在一點P（-3，4），使得四邊形BPOH為菱形．
四邊形BPOH不能成為正方形，因為如果四邊形BPOH為正方形，點P的坐標只能是（-3，3），但這一點不在拋物線上．