Question

【題目】如圖①，拋物線過、兩點，交軸于點，連接．

（1）求該拋物線的表達式和對稱軸；

（2）點是拋物線對稱軸上一動點，當是以為直角邊的直角三角形時，求所有符合條件的點的坐標；

（3）如圖②，將拋物線在上方的圖象沿折疊后與軸交與點，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1），對稱軸為；（2）點的坐標為或；（3）

【解析】

（1）根據拋物線y＝2x2＋bx＋c過A（1，0）、B（3，0）兩點，可以求得該拋物線的解析式，然后將解析式化為頂點式即可得到該拋物線的對稱軸；

（2）根據題意，可知分兩種情況：和，然后利用勾股定理可求得點D的坐標；

（3）在線段上方的拋物線圖象取點的對稱點，過點作軸的平行線交直線于點，求出，求出直線BC的解析式，設點的坐標為，得到點的坐標為，得到，，利用列出方程求出n，得到 ，再求出OE，即可得解．

（1）將、代入得：

，

解得：

∴拋物線的解析式為．

∴對稱軸為

（2）當時，，即點的坐標為

設點坐標為

∴；

①當時，

∴

解得：

∴此時點的坐標為；

②當時，

∴

解得：

∴此時點的坐標為；

綜上所述：點的坐標為或；

（3）在線段上方的拋物線圖象取點的對稱點，過點作軸的平行線交直線于點．

∴設直線的表達式為

將、代入得：

，解得：

∴直線的表達式為

∵翻折

∴，

∵軸

∴

∴

∴

設點的坐標為，則點的坐標為

∴

∵

∴

解得：（舍去），

∴

∴

∵

∴

∴點的坐標為．