Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC，利用直尺和圓規完成如下操作：

①作∠BAC的平分線交BC于點D；

②作邊AB的垂直平分線EF，EF與AD相交于P點；

③連接PB、PC，

請你觀察所作圖形，解答下列問題：

（1）線段PA、PB、PC之間的大小關系是________；

（2）若∠ABC=68°，求∠BPC的度數．

Answer 1

【答案】（1）；（2）88°．

【解析】

根據角平分線的作法、線段垂直平分線的作法作出AD、EF即可；

（1）根據等腰三角形“三線合一”的性質可得直線AD是線段BC的垂直平分線，根據垂直平分線的性質可得PA=PB=PC；

（2）根據等腰三角形的性質可得∠ACB=∠ABC=68°，

①以A為圓心，任意長為半徑畫弧，交AB、AC于M、N，分別以M、N為圓心，大于MN長為半徑畫弧，兩弧交于點Q，作射線AQ，交BC于D；

②分別以A、B為圓心，大于AB長為半徑畫弧，兩弧交于E、F，作直線EF交AD于P，

③連接PB、PC，

∴如圖即為所求，

（1）∵AD是∠BAC的角平分線，AB=AC，

∴AD是BC的垂直平分線，

∴PB=PC，

∵EF是AB的垂直平分線，

∴PA=PB，

∴PA=PB=PC，

故答案為：PA=PB=PC

（2）∵AB=AC，∠ABC=68°，

∴，

∴∠BAC=180°-2×68°=44°，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD=22°，

由（1）可知PA=PB=PC，

∴∠PBA=∠PAB=∠PCA=22°

∴∠BPD=∠CPD=2∠PAB=44°，

∴∠BPC=2∠BPD=88°，