Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，P為BC上一點．
（1）若∠APD=90°，找出圖中兩個相似的三角形，并加以證明；
（2）若AB=9，DC=4，P為BC的中點，∠APD=90°，求BC的長；
（3）在（2）的條件下，試探求以AD為直徑的圓與BC所在直線的位置關(guān)系，并予以證明．

Answer 1

（1）△ABP∽△PCD．
證明：∵∠APD=90°，
∴∠DPC+∠APB=90°．
∵∠DPC+∠CDP=90°，
∴∠CDP=∠APB．
∵∠C=∠B=90°，
∴△ABP∽△PCD．

（2）∵△ABP∽△PCD，
∴CD：PC=BP：AB．
CD•AB=BP•CP=BP²=9×4=36，
∴BP=PC=6，BC=12．

（3）過D作DE⊥AB于E，
根據(jù)勾股定理AD=13．
設(shè)AD中點O，連接OP，
∴OP是梯形ABCD的中位線．
∴OP⊥BC．
且0P=

1

2

（CD+AB）=6.5=AO．
∴以底邊AD為直徑的圓與線段BC所在的直線相切．