Question

【題目】如圖，P是等邊三角形ABC內的一點，連結PA，PB，PC，以BP為邊作∠PBQ=60°，且BQ=BP，連結CQ.若PA∶PB∶PC=3∶4∶5，連結PQ，試判斷△PQC的形狀（ ）

A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 銳角三角形 D. 鈍角三角形

Answer 1

【答案】A

【解析】

連接PQ，先通過“邊角邊”證明△ABP≌△CBQ，得到AP=CQ，易證△BQP為等邊三角形，得到PQ=BP，再利用勾股定理的逆定理證明△PQC為直角三角形即可.

解：如圖，連接PQ，

∵∠ABP+∠PBC=60°，∠CBQ+∠PBC=60°，

∴∠ABP=∠CBQ，

在△ABP與△CBQ中，

，

∴△ABP≌△CBQ（SAS），

∴AP=CQ，

∵∠PBQ=60°，BQ=BP，

∴△BPQ為等邊三角形，即BP=PQ，

又∵PA∶PB∶PC=3∶4∶5，

可設PA=3a，PB=4a，PC=5a，

即CQ=3a，PQ=4a，

∴CQ2+PQ2=9a2+16a2=25a2=PC2，

則△PQC為直角三角形.

故選：A.