Question

【題目】如圖甲，在等邊三角形ABC內有一點P，且PA＝2，PB＝，PC＝1，求∠BPC度數的大小和等邊三角形ABC的邊長．

解題思路是：將△BPC繞點B逆時針旋轉60°，如圖乙所示，連接PP′．

（1）△P′PB是 三角形，△PP′A是 三角形，∠BPC＝ °；

（2）利用△BPC可以求出△ABC的邊長為 ．

如圖丙，在正方形ABCD內有一點P，且PA＝，BP＝，PC＝1；

（3）求∠BPC度數的大小；

（4）求正方形ABCD的邊長．

Answer 1

【答案】（1）等邊 直角 150°；（2）；（3）135°；（4） .

【解析】

（1）將△BPC繞點B順時針旋轉60°，畫出旋轉后的圖形（如圖2），連接PP′，可得△P′PB是等邊三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可證），所以∠AP′B＝150°，而∠BPC＝∠AP′B＝150°，

（2）過點B作BM⊥AP′，交AP′的延長線于點M，進而求出等邊△ABC的邊長為 ，問題得到解決．

（3）求出，根據勾股定理的逆定理求出∠AP′P＝90°，推出∠BPC＝∠AEB＝90°+45°＝135°；

（4）過點B作BF⊥AE，交AE的延長線于點F，求出FE＝BF＝1，AF＝2，關鍵勾股定理即可求出AB．

解：（1）∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC＝60°，

將△BPC繞點B順時針旋轉60°得出△ABP′，

∴

∵∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°，

∴∠ABP′+∠ABP＝∠ABC＝60°，

∴△BPP′是等邊三角形，

∴

∵AP′＝1，AP＝2，

∴AP′2+PP′2＝AP2，

∴∠AP′P＝90°，則△PP′A是 直角三角形；

∴∠BPC＝∠AP′B＝90°+60°＝150°；

（2）過點B作BM⊥AP′，交AP′的延長線于點M，

∴

由勾股定理得：

∴

由勾股定理得：

故答案為：（1）等邊；直角；150；；

（3）將△BPC繞點B逆時針旋轉90°得到△AEB，

與（1）類似：可得：AE=PC=1，BE=BP=，∠BPC=∠AEB，∠ABE=∠PBC，

∴∠EBP＝∠EBA+∠ABP＝∠ABC＝90°，

∴，

由勾股定理得：EP＝2，

∵

∴AE2+PE2＝AP2，

∴∠AEP＝90°，

∴∠BPC＝∠AEB＝90°+45°＝135°；

（4）過點B作BF⊥AE，交AE的延長線于點F；

∴∠FEB＝45°，

∴FE＝BF＝1，

∴AF＝2；

∴在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB＝；

∴∠BPC＝135°，正方形邊長為．

答：（3）∠BPC的度數是135°；

（4）正方形ABCD的邊長是．