Question

已知：如圖，正方形ABCD的邊長為1，E，F是正方形邊上的點，BF⊥CE于點P，且CP=2PE．
求：BF的長．

Answer 1

分析：首先由CP=2PE，設PE=x，則可得CP=2x，EC=CP+PE=3x，然后由四邊形ABCD是正方形，BF⊥CE，易證得△BCP∽△ECB，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得EC的長，又由△ABF≌△BCE，即可求得BF的長．

解答：解：∵CP=2PE，
∴設PE=x，則CP=2x，EC=CP+PE=3x，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ABC=90°，AB=BC=1，
∵BP⊥EC，
∴∠BPC=∠EBC=90°，
∵∠BCP=∠ECB，
∴△BCP∽△ECB，
∴

BC

EC

=

CP

BC

，
即

1

3x

=

2x

1

，
解得：x=

6

6

，
即EC=3x=

6

2

，
∵∠BCP+∠PBC=90°，∠ABF+∠PBC=90°，
∴∠ABF=∠BCE，
在△ABF和△BCE中，

∠A=∠EBC=90° AB=BC ∠ABF=∠BCE

，
∴△ABF≌△BCE，
∴BF=EC=

6

2

．

點評：此題考查了正方形的性質，相似三角形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質等知識．此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是注意數形結合思想與方程思想的應用．