Question

【題目】(2016山東省聊城市第29題)(1)、已知：△ABC是等腰三角形，其底邊是BC，點D在線段AB上，E是直線BC上一點，且∠DEC=∠DCE，若∠A=60°（如圖①）．求證：EB=AD；

(2)、若將（1）中的“點D在線段AB上”改為“點D在線段AB的延長線上”，其它條件不變（如圖②），（1）的結論是否成立，并說明理由；

(3)、若將（1）中的“若∠A=60°”改為“若∠A=90°”，其它條件不變，則的值是多少？（直接寫出結論，不要求寫解答過程）

Answer 1

【答案】(1)、證明過程見解析；(2)、成立；理由見解析；(3)、

【解析】

試題分析：(1)、作DF∥BC交AC于F，由平行線的性質得出∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，證明△ABC是等邊三角形，得出∠ABC=∠ACB=60°，證出△ADF是等邊三角形，∠DFC=120°，得出AD=DF，由已知條件得出∠FDC=∠DEC，ED=CD，由AAS證明△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出結論；(2)、作DF∥BC交AC的延長線于F，同（1）證出△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出結論； (3)、作DF∥BC交AC于F，同（1）得：△DBE≌△CFD，得出EB=DF，證出△ADF是等腰直角三角形，得出DF=AD，即可得出結果．

試題解析：(1)、作DF∥BC交AC于F，如圖1所示：則∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，

∵△ABC是等腰三角形，∠A=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，

∴∠DBE=120°，∠ADF=∠AFD=60°=∠A，∴△ADF是等邊三角形，∠DFC=120°， ∴AD=DF，

∵∠DEC=∠DCE， ∴∠FDC=∠DEC，ED=CD， ∴△DBE≌△CFD（AAS）， ∴EB=DF， ∴EB=AD；

(2)、EB=AD成立；理由如下：作DF∥BC交AC的延長線于F，如圖2所示：

同（1）得：AD=DF，∠FDC=∠ECD，∠FDC=∠DEC，ED=CD，又∵∠DBE=∠DFC=60°，∴△DBE≌△CFD（AAS），∴EB=DF， ∴EB=AD；

(3)、；理由如下：作DF∥BC交AC于F，如圖3所示： 同（1）得：△DBE≌△CFD（AAS），

∴EB=DF，∵△ABC是等腰直角三角形，DF∥BC， ∴△ADF是等腰直角三角形， ∴DF=AD，

∴， ∴．