Question

如圖，以等腰三角形ABC的一腰AB為直徑的⊙O交BC于D，過D作DE⊥AC于E．求證：DE是⊙O的切線．

Answer 1

分析：連接OD，根據三角形的中位線定理得到OD∥AC，結合DE⊥AC得到OD⊥DE，從而證明結論．

解答：證明：如圖，連接OD．
∵AB為⊙O的直徑，
∴AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴BD=CD；
∵OA=OB，BD=CD，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
又DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE為⊙O的切線．

點評：此題綜合運用了圓周角定理的推論，即直徑所對的圓周角是直角；等腰三角形的性質，即等腰三角形底邊上的高也是底邊上的中線；三角形的中位線定理以及平行線的性質；切線的判定，即經過半徑的外端，且垂直于半徑的直線是圓的切線．
注意：構造直徑所對的圓周角和連接過切點的半徑是圓中常見的輔助線之一．