Question

如圖，O為正方形ABCD對(duì)角線AC上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的⊙O與BC相切于點(diǎn)M．
（1）求證：CD與⊙O相切；
（2）若⊙O的半徑為1，求正方形ABCD的邊長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）過(guò)O作ON⊥CD于N，連接OM，由切線的性質(zhì)可知，OM⊥BC，再由AC是正方形ABCD的對(duì)角線可知AC是
∠BCD的平分線，由角平分線的性質(zhì)可知OM=ON，故CD與⊙O相切；
（2）先根據(jù)正方形的性質(zhì)得出△MOC是等腰直角三角形，由勾股定理可求出OC的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出AC的長(zhǎng)，在Rt△ABC中，利用勾股定理即可求出AB的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：過(guò)O作ON⊥CD于N，連接OM，
∵⊙O與BC相切于點(diǎn)M，
∴OM⊥BC，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠B=90°，AB∥CD
∴AB∥OM∥DC，
∵AC為正方形ABCD對(duì)角線，
∴∠NOC=∠NCO=∠MOC=∠MCO=45°，
∵OM=ON，
∴CD與⊙O相切；

（2）解：由（1）易知△MOC為等腰直角三角形，OM為半徑，
∴OM=MC=1，
∴OC²=OM²+MC²=1+1=2，
∴OC=

2

．
∴AC=AO+OC=1+

2

，
在Rt△ABC中，AB=BC，
有AC²=AB²+BC²，
∴2AB²=AC²，
∴AB=

1+ 2

2

=

2 +2

2

．
故正方形ABCD的邊長(zhǎng)為

2 +2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是正方形的性質(zhì)及勾股定理、切線的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．