Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+ x+c與x軸的負半軸交于點A，與y軸交于點B，連結AB，點C（6，）在拋物線上，直線AC與y軸交于點D．

（1）求c的值及直線AC的函數表達式；

（2）點P在x軸正半軸上，點Q在y軸正半軸上，連結PQ與直線AC交于點M，連結MO并延長交AB于點N，若M為PQ的中點．

①求證：△APM∽△AON；

②設點M的橫坐標為m，求AN的長（用含m的代數式表示）．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x-3，y=x+3（2）AN=

【解析】試題（1）把C點坐標代入拋物線解析式可求得c的值，令y=0可求得A點坐標，利用待定系數法可求得直線AC的函數表達式；

（2）①在Rt△AOB和Rt△AOD中可求得∠OAB=∠OAD，在Rt△OPQ中可求得MP=MO，可求得∠MPO=∠MOP=∠AON，則可證得△APM∽△AON；

②過M作ME⊥x軸于點E，用m可表示出AE和AP，進一步可表示出AM，利用△APM∽△AON可表示出AN．

（1）把C點坐標代入拋物線解析式可得，解得c=﹣3，∴拋物線解析式為，令y=0可得，解得x=﹣4或x=3，∴A（﹣4，0），設直線AC的函數表達式為y=kx+b（k≠0），把A、C坐標代入可得：，解得：，∴直線AC的函數表達式為；

（2）①∵在Rt△AOB中，tan∠OAB= =，在RtAOD中，tan∠OAD==，∴∠OAB=∠OAD，∵在Rt△POQ中，M為PQ的中點，∴OM=MP，∴∠MOP=∠MPO，且∠MOP=∠AON，∴∠APM=∠AON，∴△APM∽△AON；

②如圖，過點M作ME⊥x軸于點E，則OE=EP，∵點M的橫坐標為m，∴AE=m+4，AP=2m+4，∵tan∠OAD=，∴cos∠EAM=cos∠OAD=，∴=，∴AM=AE=，∵△APM∽△AON，∴，即，∴AN=．