Question

（2012•鐵嶺）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是梯形，BC∥AD，∠BAD+∠CDA=90°，且tan∠BAD=2，AD在x軸上，點A的坐標（-1，0），點B在y軸的正半軸上，BC=OB．
（1）求過點A、B、C的拋物線的解析式；
（2）動點E從點B（不包括點B）出發，沿BC運動到點C停止，在運動過程中，過點E作EF⊥AD于點F，將四邊形ABEF沿直線EF折疊，得到四邊形A₁B₁EF，點A、B的對應點分別是點A₁、B₁，設四邊形A₁B₁EF與梯形ABCD重合部分的面積為S，F點的坐標是（x，0）．
①當點A₁落在（1）中的拋物線上時，求S的值；
②在點E運動過程中，求S與x的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）根據條件先求出B點和C點的坐標，再利用待定系數法就可以求出過點A、B、C的拋物線的解析式．
（2）①根據拋物線的對稱性可以知道當點A₁落在拋物線上A₁與點A關于對稱軸對稱，重合部分面積就是梯形ABEF的面積．從而求出S的值．
②從0＜x≤1和當1＜x≤2兩種情況分別把點E在運動的過程中重疊部分的面積表示出來，當0＜x≤1時重疊部分的面積就是梯形ABEF的面積，當1＜x≤2時，重疊部分的面積就是一個五邊形的面積．就是一個梯形的面積減去一個三角形
的面積就可以了．

解答：解：（1）∵點A坐標是（-1，0），
∴OA=1，
在△ABO中∠AOB=90°tanA=

OB

OA

=2，
∴OB=2．
∴點B的坐標是（0，2）．
∵BC∥AD，BC=OB，
∴BC=2，
∴點C的坐標是（2，2）．
設拋物線表達式為y=ax²+bx+2，由題意，得
∴

0=a-b+2 2=4a+2b+2

∴解得

a=- 2 3 b= 4 3

∴y=-

2

3

x²+

4

3

x+2．

（2）①當點A₁落在拋物線上，根據拋物線的軸對稱性可得A₁與點A關于對稱軸對稱，
由沿直線EF折疊，所以點E是BC上一個點，
重合部分面積就是梯形ABEF的面積．
∴S=S_梯形ABEF=

1

2

（BE+AF）×BO=2+1=3；
②當0＜x≤1時，重合部分面積就是梯形ABEF的面積，
由題得AF=x+1，BE=x，
S=S_梯形ABEF=

1

2

（BE+AF）×BO=2x+1．
當1＜x≤2時，重合部分面積就是五邊形A₁NCEF的面積，
設A₁B₁交CD于點N，作MN⊥DF于點M，CK⊥AD于點K，
∴∠CKD=∠NMD=90°
由軸對稱得：∠1=∠2，
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∠3+∠MND=90°
∴∠MND=∠1
△NMA₁∽△DMN，

MA1

NM

=

NM

MD

，
∵∠BAO=∠MA₁N，tan∠BAO=2，
∴tan∠MA₁N=2=

MN

A1M

．
∴2MA₁=MN，MD=2MN．
∴MD=4MA₁，
∴DA₁=3MA₁
∵tan∠BAO=2，∠BAO+∠CDK=90°，
∴tan∠CDK=

1

2

．
在△DCK中，∠CKD=90°，CK=OB=2，
tan∠CDK=

CK

DK

=

1

2

，
∴DK=4，OD=6．
∵OF=x，A₁F=x+1，
∴A₁D=OD-OF-A₁F=5-2x，FD=6-x．
∴3MA₁=5-2x，
∴MA₁=

1

3

（5-2x）
∵2MA₁=MN
∴MN=

2

3

（5-2x）．
∴S=S_梯形DCEF-S_△A1ND=8-2x-

1

3

（5-2x）²=-

4

3

x²+

14

3

x-

1

3

．

點評：本題是一道二次函數的綜合試題，考查了待定系數法求函數的解析式，梯形的面積公式，動點問題在函數解析式中的運用．相似三角形的判定及性質的運用．