Question

如圖，已知直線l₁：y=

2

3

x+

8

3

與直線l₂：y=-2x+16相交于點C，l₁、l₂分別交x軸于A、B兩點．矩形DEFG的頂點D、E分別在直線l₁、l₂上，頂點F、G都在x軸上，且點G與點B重合．
（1）求△ABC的面積；
（2）求矩形DEFG的邊DE與EF的長；
（3）若矩形DEFG沿x軸的反方向以每秒1個單位長度的速度平移，設移動時間為t（0≤t≤12）秒，矩形DEFG與△ABC重疊部分的面積為S，求S關于t的函數關系式，并寫出相應的t的取值范圍．

Answer 1

（1）由

2

3

x+

8

3

=0，得x=-4．
∴A點坐標為（-4，0），
由-2x+16=0，
得x=8．
∴B點坐標為（8，0），
∴AB=8-（-4）=12，
由

y= 2 3 x+ 8 3 y=-2x+16

，解得

x=5 y=6

∴C點的坐標為（5，6），
∴S_△ABC=

1

2

AB•y_C=

1

2

×12×6=36．

（2）∵點D在l₁上且xD=xB=8，
∴y_D=

2

3

×8+

8

3

=8，
∴D點坐標為（8，8），
又∵點E在l₂上且y_E=y_D=8，
∴-2x_E+16=8，
∴x_E=4，
∴E點坐標為（4，8），
∴DE=8-4=4，EF=8．

（3）①當0≤t＜3時，如圖1，矩形DEFG與△ABC重疊部分為五邊形CHFGR（t=0時，為四邊形CHFG）．
過C作CM⊥AB于M，則Rt△RGB∽Rt△CMB，
∴

BG

BM

=

RG

CM

，即

t

3

=

RG

6

，∴RG=2t，
∵Rt△AFH∽Rt△AMC，
∴S=S_△ABC-S_△BRG-S_△AFH=36-

1

2

×t×2t-

1

2

（8-t）×

2

3

（8-t），
即S=-

4

3

t²+

16

3

t+

44

3

．
②當3≤t＜8時，如圖2所示，矩形DEFG與△ABC重疊部分為梯形HFGR，由①知，HF=

2

3

（8-t），
∵Rt△AGR∽Rt△AMC，
∴

RG

CM

=

AG

AM

，即

RG

6

=

12-t

9

，∴RG=

2

3

（12-t），
∴S=

1

2

（HF+RG）×FG=

1

2

[

2

3

（8-t）+

2

3

（12-t）]×4，
即S=-

8

3

t+

80

3

；
③當8≤t≤12時，如圖3所示，矩形DEFG與△ABC重疊部分為△AGR，
由②知，AG=12-t，RG=

2

3

（12-t），
∴S=

1

2

AG•RG=

1

2

（12-t）×

2

3

（12-t）即S=

1

3

（12-t）²，
∴S=

1

3

t²-8t+48．