Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與坐標軸分別交于點點A（0，8）、B（8，0）和點E，動點C從原點O開始沿OA方向以每秒1個單位長度移動，動點D從點B開始沿BO方向以每秒1個單位長度移動，動點C、D同時出發，當動點D到達原點O時，點C、D停止運動．

（1）求該拋物線的解析式及點E的坐標；

（2）若D點運動的時間為t，△CED的面積為S，求S關于t的函數關系式，并求出△CED的面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+3x+8，E（﹣2，0）；（2）當t=5時，S最大=．

【解析】

試題分析：（1）將點A（0，8）、B（8，0）代入拋物線y=﹣x2+bx+c即可求出拋物線的解析式為：y=﹣x2+3x+8；再令y=0，得：﹣x2+3x+8=0，解方程可得點E的坐標；

（2）根據題意得：當D點運動t秒時，BD=t，OC=t，然后由點A（0，8）、B（8，0），可得OA=8，OB=8，從而可得OD=8﹣t，然后令y=0，點E的坐標為（﹣2，0），進而可得OE=2，DE=2+8﹣t=10﹣t，然后利用三角形的面積公式即可求△CED的面積S與D點運動時間t的函數解析式為：S=﹣t2+5t，然后轉化為頂點式即可求出最值為：S最大=．

解：（1）將點A（0，8）、B（8，0）代入拋物線y=﹣x2+bx+c得：，

解得：b=3，c=8，

故拋物線的解析式為：y=﹣x2+3x+8，

∵點A（0，8）、B（8，0），

∴OA=8，OB=8，

令y=0，得：﹣x2+3x+8=0，

解得：x1=8，x2=﹣2，

∵點E在x軸的負半軸上，

∴點E（﹣2，0），

∴OE=2；

（2）根據題意得：當D點運動t秒時，BD=t，OC=t，

∴OD=8﹣t，

∴DE=OE+OD=10﹣t，

∴S=DEOC=（10﹣t）t=﹣t2+5t，

即S=﹣t2+5t=﹣（t﹣5）2+，

∴當t=5時，S最大=．