Question

【題目】問題探究

（1）如圖①，在正方形ABCD內，請畫出使∠BPC=90°的所有點P；

（2）如圖②，已知矩形ABCD，AB=9，BC=10，在矩形ABCD內(含邊)畫出使∠BPC=60°的所有點P，并求出△APD面積的最大值；

（3）隨著社會發展，農業觀光園走進了我們的生活，某農業觀光園的平面示意圖如圖3所示的四邊形ABCD，其中∠A=120°，∠B=∠C=90°，AB=km，BC=6km，觀光園的設計者想在園中找一點P，使得點P與點A、B、C、D所連接的線段將整個觀光園分成四個區域，用來進行不同的設計與規劃，從實用和美觀的角度他們還要求在△BPC的區域內∠BPC=120°，且△APD的區域面積最小，試問在四邊形ABCD內是否存在這樣的點P，使得∠BPC=120°，且△APD面積最小？若存在，請你在圖中畫出點P點的位置，并求出△APD的最小面積.若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）45-；（3）9-12.

【解析】

（1）如圖，以BC為直徑作上半圓（不含點B、C），根據直徑所對的圓周角為直角得到該半圓上的任意一點即可；（2）以BC為邊作等邊△BPC；作等邊△BPC的外接圓⊙O與AB交于F，與AD交于點E、G，與CD交于點H，和即為所求，（3）以BC為邊向下作等邊△BCQ，作△BCQ的外接圓⊙O，則劣弧BC即為所求，作AD的平行線MN切劣弧BC于P，連接OP并延長交AD于E，由切線的性質可得OP⊥MN，即可證明OP⊥AD，由平行線間垂線段最短，可得三角形APD面積最小，過A作AH⊥CD于H，由BC=10可得△BCQ的外接圓半徑為2，與BC弦的弦心距為，根據AB=可得AH與⊙O相切，切點為G，根據平行線的判定定理可得OC//AD，進而可證明四邊形OCDF為平行四邊形，即可證明CD=OF，根據直角三角形銳角互余的關系可得∠EOF=30°，通過解直角三角形可求出OE的長，進而可求出PE的長，根據三角形面積公式即可得答案.

（1）如圖，以BC為直徑作上半圓（不含點B、C），

∵直徑所對的圓周角是90°，

∴（不含點B、C）即為所求.

（2）以BC為邊作等邊△BPC；作等邊△BPC的外接圓⊙O與AB交于F，與AD交于點E、G，與CD交于點H，

∵△BPC是等邊三角形，和是弦BC所對圓周角，

∴和即為所求.

連接CF，DF，

∵三角形的底相等，高越大面積越大，

∴當P點與F點或H點重合時面積最大，

∵∠BFC=60°，BC=10，

∴tan60°===，

∴BF=，

∴AF=9-，

∴S△AFD=×（9-）×10=45-.

（3）如圖，以BC為邊向下作等邊△BCQ，作△BCQ的外接圓⊙O，則劣弧BC即為所求，作AD的平行線MN切劣弧BC于P，連接OP并延長交AD于E，

∴OP⊥MN，

∵AD//MN，

∴OE⊥AD，

∵平行線間垂線段最短，

∴△APD面積最小，

過A作AH⊥CD于H，作OK⊥BC，延長OK交AH于G，交AD于F，

∵△BCQ是等邊三角形，

∴∠OBC=30°，BK=3，

∴OB==，OK==，即外接圓的半徑為，BC的弦心距為，

∵∠DCB=90°，

∴AH//BC，

∴OG⊥AH，

∴AB=KG=CH，

∵AB=，

∴OG=OK+KG=OK+AB=2=OB，

∴AH與⊙O相切，切點為G，

∵∠D=60°，∠OCD=90°+30°=120°，

∴AD//OC，

∵∠OKC=∠DCK=90°，

∴OF//CD，

∴四邊形OCDF是平行四邊形，

∴OF=CD，

∵∠BAD=120°，∠BAH=90°，

∴∠FAG=30°，

∵∠FAG+∠AFO=90°，∠EOF+∠AFO=90°，

∴∠EOF=∠FAG=30°，

∵∠FAG=30°，AH=BC=6，

∴AD==，HD=6tan30°=2，

∴OF=CD=HD+CH=2+=3，

∴OE=OFcos∠EOF=OFcos30°=3×=，

∴PE=OE-OP=-2，

∴S△APD=ADPE=×（-2）×=9-12.