Question

【題目】如圖，在ABCD中，E是CD的延長線上一點，連接BE交AD于點F，且AF＝2FD.

(1)求證：△ABF∽△CEB；

(2)若△CEB的面積為9，求ABCD的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）12

(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C，AB∥CD，∴∠ABF＝∠E，∴△ABF∽△CEB.

(2)解：∵AF＝2FD，∴AD＝3FD.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，∴△ABF∽△DEF，△CEB∽△DEF，∴S△ABF∶S△DEF＝AF2∶FD2＝4，S△CEB∶S△DEF＝BC2∶FD2＝AD2∶FD2＝9.又∵△CEB的面積為9，∴△DEF的面積為1，△ABF的面積為4，∴ABCD的面積為9－1＋4＝12.

【解析】試題分析： 根據平行四邊形對角相等可得∠A＝∠C，對邊平行可得AB∥CD，根據兩直線平行，內錯角相等得到∠ABF＝∠E，然后利用兩角對應相等，兩三角形相似即可證明．

由于 可根據兩三角形的相似比，求出的面積，也就求出了四邊形的面積．同理可根據 求出的面積．由此可求出的面積．

試題解析：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠A＝∠C，AB∥CD，

∴∠ABF＝∠E，

∴△ABF∽△CEB.

(2)解：∵AF＝2FD，

∴AD＝3FD.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，

∴△ABF∽△DEF，△CEB∽△DEF，

∴S△ABF∶S△DEF＝AF2∶FD2＝4，

S△CEB∶S△DEF＝BC2∶FD2＝AD2∶FD2＝9.

又∵△CEB的面積為9，

∴△DEF的面積為1，△ABF的面積為4，

∴ABCD的面積為9－1＋4＝12.