Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上一點，以點D為圓心，AC為半徑畫弧交BA的延長線于點E，連接CD，作EF∥CD，交∠EAC的平分線于點F，連接CF．

（1）求證：△BCD≌△AFE；

（2）若AC＝6，∠BAC＝30°，求四邊形CDEF的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）四邊形CDEF的面積為18．

【解析】

（1）利用三角形外角性質以及平行線的性質，可得∠B=∠1，∠BDC=∠AEF，根據ASA即可判定△BCD≌△AFE；

（2）過A作AH⊥CF，垂足為H，先判定四邊形CDEF是平行四邊形，即可得出CF=AB=AC=6，且CF∥AB，再根據AH=AC=3，即可得到S四邊形CDEF=CF×AH=18．

解：（1）∵AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB，

∵∠EAC＝∠B+∠ACB，

∴∠EAC＝2∠B，

∵∠1＝∠2，

∴∠EAC＝2∠1，

∴∠B＝∠1，

∵EF∥CD，

∴∠BDC＝∠AEF，

∵AB＝AC＝DE，

∴BD＝AE，

∴△BCD≌△AFE（ASA）；

（2）如圖，過A作AH⊥CF，垂足為H，

∵△BCD≌△AFE，

∴CD＝EF，

又∵EF∥CD，

∴四邊形CDEF是平行四邊形，

∴CF＝AB＝AC＝6，且CF∥AB，

∵∠BAC＝30°，

∴∠ACH＝30°，

∴AH＝AC＝3，

∴S四邊形CDEF＝CF×AH＝6×3＝18．