Question

【題目】如圖，已知是⊙的直徑， 是⊙上一點，∠的平分線交⊙于點，交⊙的切線于點，過點作⊥，交的延長線于點．

（1）求證： 是⊙的切線；

（2）若．求值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】試題解析：試題分析：（1）作輔助線，連接OD．根據切線的判定定理，只需證DF⊥OD即可；
（2）①連接BD．根據BE、DF兩切線的性質證明△BDE∽△ABE；又由角平分線的性質、等腰三角形的兩個底角相等求得△ABE∽△AFD，所以△BDE∽△AFD；最后由相似三角形的對應邊成比例求得；②連接OC，交AD于G，由①，設BE=2x，則AD=3x，由于△BDE∽△ABE，得到比例式求得AD=3x=6，BE=2x=4，AE=AD+DE=8，根據特殊角的三角函數值即可得到結果．

試題解析：（1）證明：如圖，連結OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAF=∠DAO，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠DAF=∠ODA，
∴AF∥OD，

∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切線，

（2）①連接BD，
∵直徑AB，
∴∠ADB=90°，
∵圓O與BE相切，
∴∠ABE=90°，
∵∠DAB+∠DBA=∠DBA+∠DBE=90°，
∴∠DAB=∠DBE，
∴∠DBE=∠FAD，
∵∠BDE=∠AFD=90°，
∴△BDE∽△AFD，
∴

②連接OC，交AD于G，
由①，設BE=2x，則AD=3x，
∵△BDE∽△ABE，∴，∴，
解得：x1=2，x2=-（不合題意，舍去），
∴AD=3x=6，BE=2x=4，AE=AD+DE=8，
∴sin∠EAB=，
∴∠EAB=30°，
∴∠FAB=60°．