Question

已知：矩形ABCD中AD＞AB，O是對角線的交點，過O任作一直線分別交BC、AD于點M、N（如圖①）．

（1）求證：BM=DN；
（2）如圖②，四邊形AMNE是由四邊形CMND沿MN翻折得到的，連接CN，求證：四邊形AMCN是菱形；
（3）在（2）的條件下，若△CDN的面積與△CMN的面積比為1︰3，求的值．

Answer 1

（1）證明：連接BD，則BD過點O．
                  ∵AD∥BC， ∴∠OBM=∠ODN．
           又OB=OD， ∠BOM=∠DON， ∴△OBM≌△ODN． ∴BM=DN；
（2）證明：∵矩形ABCD， ∴AD∥BC，AD=BC． 又BM=DN，
       ∴AN=CM． ∴四邊形AMCN是平行四邊形．
         由翻折得，AM=CM， ∴四邊形AMCN是菱形；
（3）∵ 
       又：=1：3
       ∴DN︰CM=1︰3 
      設DN=k，則CN=CM=3k．
      過N作NG⊥MC于點G，則CG=DN=k，MG=CM-CG=2k．
      NG=
       ∴MN=
      ∴