Question

一次函數(shù)y=ax+b的圖象分別與x軸、y軸交于點(diǎn)M，N，與反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象相交于點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），過點(diǎn)A分別作AC⊥x軸，AE⊥y軸，垂足分別為C、E，過點(diǎn)B分別作BF⊥x軸，BD⊥y軸，垂足分別為F、D，AC與BD交于點(diǎn)K，連接
CD．若點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象的同一分支上，如圖，問：
（1）S_{四邊形AEDK}

=

S_{四邊形CFBK}（選擇“＜、=、＞”填空），并寫出上述關(guān)系的驗(yàn)證過程；
（2）求證：△AKB∽△CKD；
（3）求證：BN=AM．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義得到S_矩形AEOC=k，S_矩形BDOF=k，則S_矩形AEOC-S_矩形ODKC=S_矩形BDOF-S_矩形ODKC，所以S_{四邊形AEDK}=S_{四邊形CFBK}；
（2）由于S_{四邊形AEDK}=S_{四邊形CFBK}，根據(jù)矩形的面積公式得到KD•KA=KC•KB，變形為

KD

KB

=

KC

KA

，又∠CKD=∠AKB=90°，根據(jù)相似三角形的判定方法即可得到△AKB∽△CKD；
（3）由于△AKB∽△CKD，根據(jù)相似的性質(zhì)得∠KCD=∠KAB，根據(jù)平行線的判定方法得DC∥AB，則易得四邊形ACDN、四邊形BDCM都是平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)得AN=DC，BM=DC，所以AN=BM，然后根據(jù)等量代換即可得到BN=AM．

解答：（1）解：∵AC⊥x軸，AE⊥y軸，BF⊥x軸，BD⊥y軸，
∴S_矩形AEOC=k，S_矩形BDOF=k，
∴S_矩形AEOC=S_矩形BDOF，
∴S_矩形AEOC-S_矩形ODKC=S_矩形BDOF-S_矩形ODKC，
∴S_{四邊形AEDK}=S_{四邊形CFBK}；

（2）證明：∵S_{四邊形AEDK}=S_{四邊形CFBK}，
∴KD•KA=KC•KB，即

KD

KB

=

KC

KA

，
∵∠CKD=∠AKB=90°，
∴△AKB∽△CKD；

（3）∵△AKB∽△CKD，
∴∠KCD=∠KAB，
∴DC∥AB，
∵AC∥DN，BD∥CM，
∴四邊形ACDN、四邊形BDCM都是平行四邊形，
∴AN=DC，BM=DC，
∴AN=BM，
∴BN=AM．
故答案為：=．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、比例系數(shù)的幾何意義和矩形和平形四邊形的判定與性質(zhì)；熟練運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)．