Question

如左圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=ax²+bx+c（a＞0）的圖象的頂點為D點，與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點，A點在原點的左側，B點的坐標為（3，0），OB=OC，tan∠ACO=．
（1）求這個二次函數的表達式．
（2）經過C、D兩點的直線，與x軸交于點E，在該拋物線上是否存在這樣的點F，使以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓與x軸相切，求該圓半徑的長度．
（4）如圖，若點G（2，y）是該拋物線上一點，點P是直線AG下方的拋物線上一動點，當點P運動到什么位置時，△APG的面積最大？求出此時P點的坐標和△APG的最大面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）求二次函數的表達式，需要求出A、B、C三點坐標．已知B點坐標，且OB=OC，可知C（0，3），tan∠ACO=，則A坐標為（-1，0）．將A，B，C三點坐標代入關系式，可求得二次函數的表達式．
（2）假設存在這樣的點F（m，n），已知拋物線關系式，求出頂點D坐標，今兒求出直線CD，E是直線與x軸交點，可得E點坐標．四邊形AECF為平行四邊形，則CE∥AF，則兩直線斜率相等，可列等式（1），CE=AF，可列等式（2），F在拋物線上，為等式（3），根據這三個等式，即可求出m、n是否存在．
（3）分情況討論，當圓在x軸上方時，根據題意可知，圓心必定在拋物線的對稱軸上，設圓半徑為r，則N的坐標為（r+1，r），將其代入拋物線解析式，可求出r的值．當圓在x軸的下方時，方法同上，只是N的坐標變為（r+1，-r），代入拋物線解析式即可求解．
（4）G在拋物線上，代入解析式求出G點坐標，設點P的坐標為（x，y），即（x，x²-2x-3）已知點A、G坐標，可求出線段AG的長度，以及直線AG的解析式，再根據點到直線的距離求出P到直線的距離，即為三角形AGP的高，從而用x表示出三角形的面積，然后求當面積最大時x的值．
解答：解：（1）方法一：由已知得：C（0，-3），A（-1，0）（1分）
將A、B、C三點的坐標代入
得（2分）
解得：（3分）
所以這個二次函數的表達式為：y=x²-2x-3（3分）
方法二：由已知得：C（0，-3），A（-1，0）（1分）
設該表達式為：y=a（x+1）（x-3）（2分）
將C點的坐標代入得：a=1（3分）
所以這個二次函數的表達式為：y=x²-2x-3（3分）
（注：表達式的最終結果用三種形式中的任一種都不扣分）

（2）方法一：存在，F點的坐標為（2，-3）（4分）
理由：易得D（1，-4），
所以直線CD的解析式為：y=-x-3
∴E點的坐標為（-3，0）（4分）
由A、C、E、F四點的坐標得：AE=CF=2，AE∥CF
∴以A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形
∴存在點F，坐標為（2，-3）（5分）
方法二：易得D（1，-4），所以直線CD的解析式為：y=-x-3
∴E點的坐標為（-3，0）（4分）
∵以A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形
∴F點的坐標為（2，-3）或（-2，-3）或（-4，3）
代入拋物線的表達式檢驗，只有（2，-3）符合
∴存在點F，坐標為（2，-3）（5分）

（3）如圖，①當直線MN在x軸上方時，
設圓的半徑為R（R＞0），則N（R+1，R），
代入拋物線的表達式，解得（6分）
②當直線MN在x軸下方時，
設圓的半徑為r（r＞0），
則N（r+1，-r），
代入拋物線的表達式，
解得（7分）
∴圓的半徑為或．（7分）

（4）過點P作y軸的平行線與AG交于點Q，
易得G（2，-3），直線AG為y=-x-1．（8分）
設P（x，x²-2x-3），則Q（x，-x-1），
PQ=-x²+x+2．S_△APG=S_△APQ+S_△GPQ=（-x²+x+2）×3（9分）
當x=時，△APG的面積最大
此時P點的坐標為（，-），S_△APG的最大值為．（10分）
點評：此題考查二次函數與x軸，y軸坐標求法，頂點坐標公式，二次函數圖象與平行四邊形，圓相結合，重點考查了平行四邊形，圓的性質特征．