Question

直線分別交x軸、y軸于A、B兩點，△AOB繞點O按逆時針方向旋轉90°后得到△COD，拋物線y=ax²+bx+c經過A、C、D三點．
（1）寫出點A、B、C、D的坐標；
（2）求經過A、C、D三點的拋物線表達式，并求拋物線頂點G的坐標；
（3）在直線BG上是否存在點Q，使得以點A、B、Q為頂點的三角形與△COD相似？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出直線與x軸、y軸的交點坐標，得到△AOB，旋轉后得到△COD，由圖即可得到點A、B、C、D的坐標；
（2）設出二次函數的一般式，將A、C、D三點的坐標代入列出方程組即可求解；
（3）先假設存在，根據相似三角形的判定列出比例式，計算點Q的坐標，若能計算出來，則存在；否則不存在．
解答：解：（1）A（3，0），B（0，1），C（0，3），D（-1，0）；（4分）

（2）∵拋物線y=ax²+bx+c經過C點，
∴c=3．（1分）
又∵拋物線經過A，C兩點，
∴，
解得（2分）
∴y=-x²+2x+3（1分）
∴y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點G（1，4）．（1分）

（3）解：過點G作GH⊥y軸垂足為點H，
∵，，
∵tan∠BAO=，tan∠GBH=，
∴∠BGH=∠BAO（1分）
∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠BGH+∠ABO=90°，
∴∠GBA=90°，
∴∠ABQ=∠DOC=∠AOB（1分）
①當時，△ODC∽△BQA，
即，
∴BQ=（1分）
過點Q作QN⊥y軸，垂足為點N，設Q（x，y），
∵，，，
∵tan∠GBH=，
∴BN=1，
∴，（2分）
②同理可得：Q₃（3，10），Q₄（-3，-8）．（2分）
點評：此題主要考查了一次函數與坐標軸的交點問題、旋轉變換及待定系數法求函數解析式及點的存在性問題，綜合性很強，難度較大，要仔細對待．