Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，對角線AC⊥BD于P點，點A在y軸上，點C、D在x軸上．
（1）若BC=10，A（0，8），求點D的坐標；
（2）若BC=13

2

，AB+CD=34，求過B點的反比例函數的解析式；
（3）如圖，在PD上有一點Q，連接CQ，過P作PE⊥CQ交CQ于S，交DC于E，在DC上取EF=DE，過F作FH⊥CQ交CQ于T，交PC于H，當Q在PD上運動時，（不與P、D重合），

PQ

PH

的值是否發生變化？若變化，求出變化范圍；若不變，求出其值．

Answer 1

分析：（1）根據等腰三角形的性質知：AD=BC，在Rt△AOD中，已知AD，OA的長，可將OD的長求出，從而可知點D的坐標；
（2）作輔助線，作BH⊥DE于H，過B點作BE∥AC交x軸于點E，則四邊形ABEC為平行四邊形，AB=CE，BE=AC，由AC⊥BD，可得：BD⊥BE，故在Rt△BDE中，由斜邊DE的長可知：BH的長，在Rt△BHC中，運用勾股定理可將CH的長求出，進而可將OH的長求出，知點B的坐標，從而可求出求過B點的反比例函數的解析式；
（3）作輔助線，過點D作DN∥PC交PE的延長線于點M，交HF的延長線于點N，過點M作MI∥EF交BN于點I，易證四邊形EFIM和四邊形MNHP是平行四邊形，從而可證：△EDM≌△IMN，DM=MN，進而可證：△PDM≌△CPQ，DM=PQ=PH，故：

PQ

PH

=1，為定值．

解答：解：（1）在等腰梯形ABCD中，AD=BC=10
又∵A（0，8）
∴OA=8
∴OD=

102-82

=6
∴D（-6，0）

（2）作BH⊥DE于H，過B點作BE∥AC交x軸于點E，
∵AB∥CE，BE∥AC，
∴ABEC是平行四邊形，
∴AB=CE，BE=AC，
又∵ABCD為等腰梯形，
∴AC=BD，
∴BE=BD，
而AC⊥BD，AB∥CE，
∴∠DPC=∠DBE=90°，
∵BH⊥DE，
∴H為DE的中點，即BH為直角三角形DBE斜邊DE上的中線，
∴BH=

1

2

DE=

1

2

（DC+CE）=

1

2

（DC+AB）=

1

2

×34=17
∵BC=13

2

∴CH=

BC2-BH2

=7
∴OH=AB=CE=HE-HC=17-7=10
∴B（10，17）
∴過B點的反比例函數的解析式為：
y=

170

x

（3）過點D作DN∥PC交PE的延長線于點M，交HF的延長線于點N，過點M作MI∥EF交BN于點I
易證四邊形EFIM和四邊形MNHP是平行四邊形
∴MI=EF=DE，MN=PH
又∵∠EDM=∠IMN，∠DEM=∠EFI=∠MIN
∴△EDM≌△IMN
∴DM=MN
∵AC⊥BD，DN∥PC，
∴∠PDM=∠CPQ=90°，∠DPM=∠QCP=90°-∠SPC
由（2）知：∠BDC=45°，而∠DPC=90°，
∴PD=PC
∴△PDM≌△CPQ
∴DM=PQ=PH
∴

PQ

PH

=1

點評：本題綜合考查等腰梯形的性質，反比例函數關系式的求法，全等三角形的判定和勾股定理等知識點的綜合應用．