Question

如圖，在△ABC中，BC=6cm，CA=8cm，∠C=90°，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿BC邊向C以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從C點(diǎn)開始沿CA邊向點(diǎn)A以2cm/s的速度移動(dòng)。

(1)求⊙O的半徑；
(2)若P、Q分別從B、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)Q移動(dòng)到A時(shí)，P點(diǎn)與⊙O是什么位置關(guān)系？
(3)若P、Q分別從B、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)Q移動(dòng)到A時(shí)，移動(dòng)停止，則經(jīng)過幾秒，△PCQ的面積等于5cm²？

Answer 1

(1)2；（2）P點(diǎn)在⊙O上；（3）1.

試題分析：（1）連接AO、BO、CO,利用面積法易求出⊙O的半徑；
（2）設(shè)⊙O與三角形三邊的切點(diǎn)分別為D、E、F，易求各段的長(zhǎng)度，再求出Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，即可判斷P點(diǎn)的位置；
（3）設(shè)經(jīng)過t秒.分別用含有t的代數(shù)式表示PC、CQ代入三角形面積計(jì)算公式即可求出t的值.
試題解析：（1）在Rt△ABC中，BC=6cm，CA=8cm，∠C=90°，由勾股定理得AB=10cm,
設(shè)⊙O的半徑為r，則有：S△ABO+ S△BOC+ S△AOC=AC×BC
即AB×r+BC×r+AC×r==AC×BC
所以r=2cm
（2）如圖，⊙O與三角形三邊的切點(diǎn)分別為D、E、F，設(shè)BD=BE=xcm，則CD=CQ=(6-x)cm,AQ=AE=(2+x)cm.

∴2+x+x=10
∴x=4即BD=4cm.
點(diǎn)Q從C到A的時(shí)間為：8÷2=4（分鐘）
∴P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，即P點(diǎn)在⊙O上；
（3）設(shè)經(jīng)過t秒，則PC=(6-t)cm,CQ=2t.
又△PCQ的面積等于5cm²
∴(6-t)×2t=5
解得t=1或t=5（大于4s，故舍去）
考點(diǎn): （1）圓的切線；（2）一元二次方程.