Question

已知，如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線AB與x、y軸分別交于點A（

8

3

，0）、B（0，2）．
（1）求直線AB的解析式；
（2）求點O到直線AB的距離；
（3）求點M（-1，-1）到直線AB的距離．

Answer 1

分析：（1）設出函數解析式為y=kx+b，再將點A（

8

3

，0）、B（0，2）代入可得出方程組，解出即可得出k和b的值，即得出了函數解析式；
（2）首先求出AO、BO的長，再利用勾股定理求出AB的長，然后利用三角形面積的兩種求法可求出點O到直線AB的距離；
（3）如圖所示，首先求出ME、MF的長，再求出EF的長，再利用三角形面積的兩種求法可求出點M到直線AB的距離．

解答：解：（1）設函數解析式為y=kx+b，
∵直線AB與x、y軸分別交于點A（

8

3

，0）、B（0，2），
∴

8 3 k+b=0 b=2

，
解得：

k=- 3 4 b=2

，
∴直線AB的解析式y=-

3

4

x+2；

（2）y=-

3

4

+2與x軸交點坐標為：（

8

3

，0），與y軸交點坐標為：（0，2），
∵AB²=BO²+AO²，
∴AB²=2²+（

8

3

）²=

100

9

，
∴AB=

10

3

，

1

2

×OB×OA=

1

2

×AB×OD，

1

2

×2×

8

3

=

1

2

×

10

3

×DO，
DO=1.6，
∴點O到直線AB的距離為1.6．；

（3）設E點坐標為（-1，f），F（r，-1），
∴-

3

4

×（-1）+2=f，-

3

4

r+2=-1，
解得：f=

11

4

，r=4，
∴E（-1，

11

4

），F（4，-1），
∴EM=

15

4

，MF=5，
EF²=EM²+FM²，
EF²=

225

16

+25=

625

16

，
∴EF=

25

4

，
設點M（-1，-1）到直線AB的距離為h，

1

2

×EM×MF=

1

2

×EF×h，

1

2

×

15

4

×5=

1

2

×

25

4

×h，
h=3．

點評：此題主要考查了待定系數法求一次函數解析式，以及點到直線的距離，關鍵是求出A、B、E、F的坐標，求出AB、EF的長，利用三角形面積的兩種求法即可得到答案．