Question

【題目】如圖，A、B、C、D為矩形的四個頂點，AB=16cm，BC=6cm，動點P、Q分別從點A、C同時出發，點P以3cm/s的速度向點B移動，點Q以2cm/s的速度向點D移動．當點P運動到點B停止時，點Q也隨之停止運動．

（1）問幾秒后，點P和點Q的距離是10cm？
（2）問幾秒后，以P、Q、D三點為頂點的三角形為直角三角形？
（提示：根據不同情況畫出不同的圖形，再給予解決問題．）

Answer 1

【答案】
（1）解：設x秒后，點P和點Q的距離是10cm，

（16﹣2x﹣3x）2+62=102，

（16﹣5x）2=64，

16﹣5x=±8，

x1=1.6，x2=4.8，

答：1.6秒或4.8秒時，點P和點Q的距離是10cm；

（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴CD=AB=16，AD=BC=6，

根據題意得：AP=3t，CQ=2t，

∴DQ=CD﹣CQ=16﹣2t，

過點Q作QM⊥AB于點M，

∴四邊形BCQM是矩形，

∴QM=BC=6，BM=CQ=2t，

∴PM=AB﹣AP﹣BM=16﹣5t，

①如圖1，

若∠DPQ=90°，

∴∠APD+∠MPQ=90°，

∵∠APD=∠ADP=90°，

∴∠ADP=∠MPQ，

∵∠A=∠PMQ=90°，

∴△APD∽△MQP，

∴ = ，

∴ = ，

解得：t=2或t= ；

②如圖2，

若∠DQP=90°，則有DQ2=DP2﹣PQ2，

∴（16﹣2t）2=62+（3t）2﹣62，

解得：t= ，

綜上所述，當t=2或 或 時，△PDQ為直角三角形．

【解析】（1）根據矩形的性質和勾股定理，得到一元二次方程，求出這個一元二次方程的解即可；（2）根據矩形的性質和速度得到各個邊的關系式，當∠DPQ=90°時，得到△APD∽△MQP，得到比例求出t的值；當∠DQP=90°時，根據勾股定理求出t的值，在解一元二次方程時，注意實際意義.