Question

【題目】如圖，已知拋物線y=x2+bx+c與y軸交于點C，與x軸交于點A、B，且AB=2，拋物線的對稱軸為直線x=2；

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）如果拋物線的對稱軸上存在一點P，使得△APC周長的值最小，求此時P點坐標及△APC周長；

（3）設D為拋物線上一點，E為對稱軸上一點，若以點A、B、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，求點D的坐標．（直接寫出結果）

Answer 1

【答案】（1）y=x2-4x+3．（2）．（）點D的坐標可以為：（2，-1）、（0，3）、（4，3）．

【解析】

試題分析：（1）由AB=2，拋物線的對稱軸為x=2，得知拋物線與x軸交點為（1，0）、（3，0），即1、3為方程x2+bx+c=0的兩個根，結合跟與系數的關系可求得b、c；

（2）由拋物線的對稱性，可得出PA+PC最短時，P點為線段BC與對稱軸的交點，由此可得出結論；

（3）平行四邊形分兩種情況，一種AB為對角線，由平行四邊形對角線的性質可求出D點坐標；另一種，AB為一條邊，根據對比相等，亦能求出D點的坐標．

試題解析：（1）∵AB=2，對稱軸為直線x=2，

∴點A的坐標為（1，0），點B的坐標為（3，0），

∵拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點A，B，

∴1，3是方程x2+bx+c=0的兩個根，

由根與系數的關系，得1+3=-b，1×3=c，

∴b=-4，c=3，

∴拋物線的函數表達式為y=x2-4x+3．

（2）連接AC，BC，BC交對稱軸于點P，連接PA，如圖1，

由（1）知拋物線的函數表達式為y=x2-4x+3，點A，B的坐標分別為（1，0），（3，0），

∴點C的坐標為（0，3），

∴BC=，AC=．

∵點A，B關于對稱軸直線x=2對稱，

∴PA=PB，

∴PA+PC=PB+PC，此時，PB+PC=BC，

∴當點P在對稱軸上運動時，PA+PC的最小值等于BC，

∴△APC周長的最小值=AC+AP+PC=BC+AC=．

（3）以點A、B、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形分兩種情況，

①線段AB為對角線，如圖2，

∵平行四邊對角線互相平分，

∴DE在對稱軸上，此時D點為拋物線的頂點，

將x=2代入y=x2-4x+3中，得y=-1，

即點D坐標為（2，-1）．

②線段AB為邊，如圖3，

∵四邊形ABDE為平行四邊形，

∴ED=AB=2，

設點E坐標為（2，m），則點D坐標為（4，m）或（0，m），

∵點D在拋物線上，

將x=0和x=4分別代入y=x2-4x+3中，解得m均為3，

故點D的坐標為（4，3）或（0，3）．

綜合①②得點D的坐標可以為：（2，-1）、（0，3）、（4，3）．