Question

（2008•遼寧）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-x-與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y=ax²-x+c（a≠0）經過A，B，C三點．
（1）求過A，B，C三點拋物線的解析式并求出頂點F的坐標；
（2）在拋物線上是否存在點P，使△ABP為直角三角形？若存在，直接寫出P點坐標；若不存在，請說明理由；
（3）試探究在直線AC上是否存在一點M，使得△MBF的周長最小？若存在，求出M點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）拋物線解析式中有兩個待定系數a，c，根據直線AC解析式求點A、C坐標，代入拋物線解析式即可；
（2）分析不難發現，△ABP的直角頂點只可能是P，根據已知條件可證AC²+BC²=AB²，故點C滿足題意，根據拋物線的對稱性，點C關于拋物線對稱軸的對稱點也符合題意；
（3）由于B，F是定點，BF的長一定，實際上就是求BM+FM最小，找出點B關于直線AC的對稱點B'，連接B'F，交AC于點M，點M即為所求，由（2）可知，BC⊥AC，延長BC到B'，使BC=B'C，利用中位線的性質可得B'的坐標，從而可求直線B'F的解析式，再與直線AC的解析式聯立，可求M點坐標．
解答：解：（1）∵直線y=-x-與x軸交于點A，與y軸交于點C
∴點A（-1，0），C（0，-）
∵點A，C都在拋物線上，
∴
∴
∴拋物線的解析式為y=x²-x-
∴頂點F（1，-）．

（2）存在：
p₁（0，-），p₂（2，-）．

（3）存在
理由：
解法一：
延長BC到點B′，使B′C=BC，連接B′F交直線AC于點M，則點M就是所求的點，
∵過點B′作B′H⊥AB于點H，
∵B點在拋物線y=x²-x-上，
∴B（3，0），
在Rt△BOC中，tan∠OBC=
∴∠OBC=30°，BC=2
在Rt△B′BH中，B′H=BB′=2
BH=B′H=6，∴OH=3，
∴B′（-3，-2）．
設直線B′F的解析式為y=kx+b，
∴，
解得，
∴y=．
，
解得，
∴M（）
∴在直線AC上存在點M，使得△MBF的周長最小，此時M（）．
解法二：
過點F作AC的垂線交y軸于點H，則點H為點F關于直線AC的對稱點，連接BH交AC于點M，則點M
即為所求．
過點F作FG⊥y軸于點G，則OB∥FG，BC∥FH，
∴∠BOC=∠FGH=90°，∠BCO=∠FHG
∴∠HFG=∠CBO
同方法一可求得B（3，0）
在Rt△BOC中，tan∠OBC=
∴∠OBC=30°，可求得GH=GC=
∴GF為線段CH的垂直平分線，可證得△CFH為等邊三角形
∴AC垂直平分FH
即點H為點F關于AC對稱點，
∴H（0，-）
設直線BH的解析式為y=kx+b，由題意得，，
解得，
∴y=，
，
解得，
∴M（），
∴在直線AC上存在點M，使得△MBF的周長最小，此時M（）．
點評：考查代數幾何的綜合運用能力，體現數學知識的內在聯系和不可分割的特點．