Question

如圖①，正方形ABCD的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（0，10），（8，4），頂點(diǎn)C，D在第一象限，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時(shí)針方向勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)E（4，0）出發(fā)，沿x軸正方向以相同速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）求正方形ABCD的邊長(zhǎng)．
（2）當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△OPQ的面積S（平方單位）與時(shí)間t（s）之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分（如圖②所示），求P，Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度．
（3）求（2）中面積S（平方單位）與時(shí)間t（s）的函數(shù)關(guān)系式及面積S取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）本題須先作BF⊥y軸于F．再求出FB和FA的值即可得出AB的長(zhǎng)．
（2）本題須求出點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B用了多少時(shí)間，再根據(jù)AB的長(zhǎng)即可求出P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度．
（3）本題須先作PG⊥y軸于G，證出△AGP∽△AFB得出S=

1

2

OQ•OG，再把OQ•OG的值代入即可得出S=-

3

10

t2+

19

5

t+20
最后即可得出S有最大值時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）作BF⊥y軸于F．
∵A（0，10），B（8，4）
∴FB=8，F(xiàn)A=6，
∴AB=10；

（2）∵點(diǎn)P從A點(diǎn)移動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，△OPQ的面積為28，
由圖2可知，當(dāng)t=10時(shí)，s=28，
∴點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B用了10s，
∵AB=10，
∴P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度均為每秒一個(gè)單位長(zhǎng)度．

（3）作PG⊥y軸于G，則PG∥BF．
∴△AGP∽△AFB
∴

GA

FA

=

AP

AB

，即

GA

6

=

t

10

∴GA=

3

5

t，OG=10-

3

5

t，
又∵OQ=4+t，
∴S=

1

2

OQ•OG，
=

1

2

（t+4）（10-

3

5

t），
即：S=-

3

10

t2+

19

5

t+20，
-

b

2a

=-

19 5

2×(- 3 10 )

=

19

3

，
且：

19

3

在0≤t≤10內(nèi)，
∴當(dāng)t=

19

3

時(shí)，S有最大值，此時(shí)GP=

4

5

t=

76

15

，
OG=10-

3

5

t=

31

5

，
∴P（

76

15

，

31

5

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，在解題時(shí)要注意綜合運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，靈活應(yīng)用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．