Question

如圖，直線分別與y軸、x軸相交于點A，點B，且AB=5，一個圓心在坐標原點，半徑為1的圓，以0.8個單位/秒的速度向y軸正方向運動，設此動圓圓心離開坐標原點的時間為t（t≥0）（秒）．
（1）求直線AB的解析式；
（2）如圖1，t為何值時，動圓與直線AB相切；
（3）如圖2，若在圓開始運動的同時，一動點P從B點出發，沿BA方向以1個單位/秒的速度運動，設t秒時點P到動圓圓心C的距離為s，求s與t的關系式；
（4）在（3）中，動點P自剛接觸圓面起，經多長時間后離開了圓面？

Answer 1

解：（1）由x-k=0，k≠0，得x=3，
∴B點坐標為（3，0），
∵AB=5，
∴A點坐標為（0，4），
∴直線AB的解析式為y=-x+4；

（2）設t秒時圓與AB相切，此時圓心為C₁或C₂，切點為D₁，D₂，如圖所示，連接C₁D₁，C₂D₂，
由△AC₁D₁∽△ABO，得，
即：，
∴，
同理由△AC₂D₂∽△ABO，
可求得，
∴當秒或秒時，圓與直線AB相切；

（3）如圖2，①當t=0時，s=3，
②當0＜t＜5時，設t秒時動圓圓心為C，連接PC．，
∴PC∥OB，
∴，即，
∴，
③當t=5時，s=0，
④當t＞5時，設動圓圓心為C₁，動點P在P₁處，連接C₁P₁．
由②同理可知P₁C₁∥OB．
∴，即，
又當t=0或5時，②中s=3或0，
所以綜上所述：
當0≤t≤5時，s=-；
當t＞5時，s=；

（4）當動點P與圓面剛接觸時，或剛離開時，s=1，
當s=1時，由，代入得；
由s=，代入得t=．（秒），
∴動點P自剛接觸圓面起，經秒后離開了圓面．
分析：（1）在函數解析式中，令y=0，解得B點的橫坐標，根據待定系數法就可以求出函數解析式；
（2）當圓與AB相切時△AC₁D₁∽△ABO，根據相似三角形的對應邊的比相等，就可以求出t的值；
（3）本題應分t=0，0＜t＜5，t=5，t＞5幾種情況進行討論；
（4）當動點P與圓面剛接觸時，或剛離開時，s=1．
點評：本題綜合考查了待定系數法求函數解析式，以及直線與圓的位置關系．