Question

已知：如圖，把矩形OCBA放置于直角坐標系中，OC=3，BC=2，取AB的中點M，連接MC，把△MBC沿x軸的負方向平移OC的長度后得到△DAO．
（1）試直接寫出點D的坐標；
（2）已知點B與點D在經過原點的拋物線上，點P在第一象限內的該拋物線上移動，過點P作PQ⊥x軸于點Q，連接OP．
①若以O、P、Q為頂點的三角形與△DAO相似，試求出點P的坐標；
②試問在拋物線的對稱軸上是否存在一點T，使得|TO-TB|的值最大？

Answer 1

分析：（1）由于M是AB的中點，即可得到AM=

3

2

，由此可求出M點的坐標，將M點坐標向左平移3個單位即可得到點D的坐標；
（2）①根據B、D的坐標即可確定拋物線的解析式，設出P點的橫坐標，根據拋物線的解析式可得到P點縱坐標的表達式；由于∠PQO=∠DAO=90°，若以O、P、Q為頂點的三角形與△DAO相似，則有兩種情況：1）、△PQO∽△DOA，2）、△OQP∽△DAO；根據上述兩種情況所得的不同比例線段，即可求出P點的坐標；
②由于D、B關于拋物線的對稱軸對稱，若|TO-TB|的值最大，那么T點必為直線DO與拋物線對稱軸的交點，根據拋物線的解析式可求出其對稱軸方程，根據D點的坐標可求得直線DO的解析式，聯立兩個函數的解析式，即可求得T點的坐標．

解答：解：（1）依題意得：D（-

3

2

，2）；（3分）

（2）①∵OC=3，BC=2，
∴B（3，2）；
∵拋物線經過原點，
∴設拋物線的解析式為y=ax²+bx （a≠0）
又拋物線經過點B（3，2）與點D（-

3

2

，2）；
∴

9a+3b=2 9 4 a- 3 2 b=2

解得：

a= 4 9 b=- 2 3

∴拋物線的解析式為y=

4

9

x2-

2

3

x；（5分）
∵點P在拋物線上，
∴設點P（x，

4

9

x2-

2

3

x）；
1）、若△PQO∽△DAO，則

PQ

DA

=

QO

AO

，

4 9 x2- 2 3 x

3 2

=

x

2

，
解得：x₁=0（舍去）或x₂=

51

16

，
∴點P（

51

16

，

153

64

）；（7分）
2）、若△OQP∽△DAO，則

OQ

DA

=

PQ

AO

，

x

3 2

=

4 9 x2- 2 3 x

2

，
解得：x₁=0（舍去）或x₂=

9

2

，
∴點P（

9

2

，6）；（9分）
②存在點T，使得|TO-TB|的值最大．
拋物線y=

4

9

x2-

2

3

x的對稱軸為直線x=

3

4

，設拋物線與x軸的另一個交點為E，則點E（

3

2

，0）；（10分）
∵點O、點E關于直線x=

3

4

對稱，
∴TO=TE（11分）
要使得|TO-TB|的值最大，
即是使得|TE-TB|的值最大，
根據三角形兩邊之差小于第三邊可知，當T、E、B三點在同一直線上時，|TE-TB|的值最大；（12分）
設過B、E兩點的直線解析式為y=kx+b（k≠0），
∴

3k+b=2 3 2 k+b=0

解得：

k= 4 3 b=-2

∴直線BE的解析式為y=

4

3

x-2；
當x=

3

4

時，y=

4

3

×

3

4

-2=-1
∴存在一點T（

3

4

，-1）使得|TO-TB|最大．（13分）

點評：此題考查了矩形的性質，圖象的平移變換，二次函數解析式的確定，相似三角形的判定和性質以及軸對稱性質的應用，同時還考查了分類討論的數學思想，能力要求較強，難度較大．