Question

觀察下列等式：

以上每個等式中兩邊數字是分別對稱的，且每個等式中組成兩位數與三位數的數字之間具有相同規律，我們稱這類等式為“數字對稱等式”.
根據上述各式反映的規律填空，使式子稱為“數字對稱等式”：
（1）① 52×      ＝       ×25；
②       ×396＝693×      .
（2）設這類等式左邊兩位數的十位數字為，個位數字為，且2≤≤9，寫出表示“數字對稱等式”一般規律的式子（含、），并證明.

Answer 1

解：（1）①∵5+2=7，
∴左邊的三位數是275，右邊的三位數是572，
∴52×275=572×25，
②∵左邊的三位數是396，
∴左邊的兩位數是63，右邊的兩位數是36，
63×369=693×36；
故答案為：①275，572；②63，36．
（2）∵左邊兩位數的十位數字為a，個位數字為b，
∴左邊的兩位數是10a+b，三位數是100b+10（a+b）+a，
右邊的兩位數是10b+a，三位數是100a+10（a+b）+b，
∴一般規律的式子為：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a），
證明：左邊=（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]，
=（10a+b）（100b+10a+10b+a），
=（10a+b）（110b+11a），
=11（10a+b）（10b+a），
右邊=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a），
=（100a+10a+10b+b）（10b+a），
=（110a+11b）（10b+a），
=11（10a+b）（10b+a），
左邊=右邊，
所以“數字對稱等式”一般規律的式子為：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）．

（1）觀察規律，左邊，兩位數所乘的數是這個兩位數的個位數字變為百位數字，十位數字變為個位數字，兩個數字的和放在十位；右邊，三位數與左邊的三位數字百位與個位數字交換，兩位數與左邊的兩位數十位與個位數字交換然后相乘，根據此規律進行填空即可；
（2）按照（1）中對稱等式的方法寫出，然后利用多項式的乘法進行證明即可．