Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，AC為對角線，過點D作DE⊥DC交直線AB于點E，過點E作EH⊥AD于點H，過點B作BF⊥AD于點F．

（1）如圖1，若∠BAD＝60°，AF＝3，AH＝2，求AC的長；

（2）如圖2，若BF＝DH，在AC上取一點G，連接DG、GE，若∠DGE＝75°，∠CDG＝45°﹣∠CAB，求證：DG＝CG．

Answer 1

【答案】（1）AC＝2；（2）證明見解析．

【解析】

（1）注意到∠CBA＝120°，于是作AM⊥CB于M，先求出CM與AM的長度，再由勾股定理算出AC長度．

（2）由已知條件可以直接判斷出△DEH≌△BAF，然后可推出CD＝DE，于是連接CE，作EN⊥AC于N，連接DN，可以證明△DGN是等腰直角三角形以及△CDG≌△EDN，注意到∠EGD＝75°，從而∠EGN＝30°，所證結論就自然成立了．

（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD＝BC，AD∥BC，CD＝AB，CD∥AB，

∵BF⊥AD于F，

∴∠AFB＝90°，

∵∠BAD＝60°，

∴AB＝2AF＝6，BF＝AF＝3，

∵EH⊥AD于H，

∴AE＝2AH＝4，EH＝AH＝2，

∵DE⊥DC交AB于E，

∴∠DEA＝90°，

∴AD＝2AE＝8，

∴CB＝AD＝8，

如圖1，作AM⊥CB于M，則∠ABM＝∠BAD＝60°，

∴BM＝（1/2）AB＝3，AM＝BM＝3，

∴CM＝CB+BM＝11，

在Rt△ACM中：AC＝＝＝2．

（2）如圖2，作EN⊥AC于N，連接DN、CE，則∠CNE＝90°．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD＝BC，AD∥BC，CD＝AB，CD∥AB，

∵DE⊥DC交AB于E，

∴∠CDE＝∠DEA＝90°，

∵EH⊥AD于H，

∴∠DHD＝∠EHA＝90°，

∵BF⊥AD于F，

∴∠DFB＝∠AFB＝90°，

∴∠DHE＝∠BFA，

∵∠DEH+∠HEA＝∠HEA+∠BAF＝90°，

∴∠DEH＝∠BAF，

∵DH＝BF，

∴△DEH≌△BAF（AAS），

∴DE＝BA＝CD，

∴△CDE是等腰直角三角形，∠DCE＝∠DEC＝45°，

∵∠CDE＝∠CNE＝90°，

∴C、D、N、E四點共圓，

∴∠DNC＝∠DEC＝45°，

∵∠CDG＝45°﹣∠CAB，

∴∠CDG+∠CAB＝45°，

∵CD∥AB，

∴∠CAB＝∠DCG，

∴∠DGN＝∠DCG+∠CDG＝45°＝∠DNC，

∴△DGN是等腰直角三角形，∠GDN＝90°，DG＝DN，

∵∠CDG+∠GDE＝∠GDE+∠EDN＝90°，

∴∠CDG＝∠EDN，

∴△CDG≌△EDN（SAS），

∴EN＝CG，

∵∠CGD＝75°，

∴∠CGN＝∠CGD﹣∠DGN＝30°，

∴GN＝EN＝CG，

∴DG＝GN＝CG