Question

【題目】△ABC中，AB=AC，取BC的中點D，做DE⊥AC與點E，取DE的中點F，連接BE，AF交于點H．

（1）如圖1，如果∠BAC=90°，那么∠AHB= °，= ；

（2）如圖2，如果∠BAC=60°，猜想∠AHB的度數和的值，并證明你的結論；

（3）如果∠BAC=α，那么= ．（用含α表達式表示）

Answer 1

【答案】(1)90；；（2）90；

【解析】

試題分析：連接AD，根據等腰三角形的性質可得∠ABC=∠C，∠BAD=∠BAC，AD⊥BC，然后根據同角的余角相等可得∠ADE=∠C．易證△ADB∽△DEC，可得ADCE=BDDE．由此可得ADCE=BC2DF=BCDF，即，由此可證到△AFD∽△BEC，則有．在Rt△ADB中根據三角函數的定義可得tan∠ABD=tan（90°-∠BAC）=,從而可得=tan（90°-∠BAC）．由△AFD∽△BEC可得∠DAF=∠CBE，即可得到∠DAF+∠AOH=∠CBE+∠BOD=90°，即可得到∠AHB=90°．利用以上結論即可解決題中的三個問題．

試題解析：連接AD，

∵AB=AC，點D是BC的中點，

∴∠ABC=∠C，∠BAD=∠DAC=∠BAC，AD⊥BC，

∵AD⊥BC，DE⊥AC，

∴∠ADE+∠CDE=90°，∠C+∠CDE=90°，

∴∠ADE=∠C．

又∵∠ADB=∠DEC=90°，

∴△ADB∽△DEC，

∴,即AD·CE=BD·DE．

∵點D是BC的中點，點F是DE的中點，

∴BD=BC，DE=2DF，

∴ADCE═BC2DF=BCDF，

∴，

又∵∠ADE=∠C，

∴△AFD∽△BEC，

∴．

在Rt△ADB中，

∵∠ABD=90°-∠BAD=90°-∠BAC，BD=BC，

∴tan∠ABD=tan（90°-∠BAC）=，

∴tan（90°-∠BAC）．

∵△AFD∽△BEC，∴∠DAF=∠CBE．

∵∠CBE+∠BOD=90°，∠AOH=∠BOD，

∴∠DAF+∠AOH=∠CBE+∠BOD=90°，

∴∠AHO=180°-90°=90°，即∠AHB=90°．

（1）如圖1，

根據以上結論可得：

∠AHB=90°，=tan（90°-×90°）=．

（2）如圖2，

猜想：∠AHB=90°，．

證明：根據以上結論可得：

∠AHB=90°，=tan（90°-×60°）=．

（3）如圖3，

根據以上結論可得：

=tan（90°-α）．