Question

拋物線y=-x²+bx+c經過直線y=-x+3與坐標軸的兩個交點A、B，拋物線與x軸的另一個交點為C，拋物線的頂點為D．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）試判斷△ABD的形狀，并證明你的結論；
（3）在坐標軸上是否存在點P，使得以點P、A、B、D為頂點的四邊形是梯形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖，∵直線y=-x+3與坐標軸的兩個交點為A、B，
∴點A的坐標為（3，0），點B的坐標為（0，3）．
又∵拋物線經過點A、B，
∴，
解得
∴拋物線的解析式為y=x²+2x+3．

（2）△ABD為直角三角形．
∵拋物線y=-x²+2x+3的頂點D的坐標為（1，4），過點D作DE⊥x軸于E，DE⊥y軸于F．
∴可求BD=，AB=3，AD=2．
∴AB²+BD²=AD²．
∴△ABD為直角三角形．

（3）如圖，坐標軸上存在點P，使得以點P、A、B、D為頂點的四邊形是梯形．
分為三種情況：
①以AB為底邊．
過點D作PD∥AB交y軸于點P．
∵可知∠ABO=45°，
∴∠DPO=45°．
∴可求PF=1．
∴PO=5．即點P（0，5）．
若過點D作P₁D∥AB交x軸于點P₁ ．
同理可求P₁坐標為（5，0）．
②以AD為底．
過點B作P₂B∥AD交x軸于點P₂ ．
利用△ADE∽△P₂BO可求出點P₂的坐標為（，0）．
③以BD為底．
過點A作P₃A∥BD交y軸于點P₃ ．
∵∠ABD=90°，
∴∠BAP₃=90°．
又∵∠BAO=45°，
∴∠P₃AO=45°．
∴AO=P₃O=3．
∴點P₃的坐標為（0，-3）．
綜上所述，點P坐標分別為（5，0）或（，0）或（0，5）或（0，-3）．
分析：（1）由直線AB的解析式可求出點A、B的坐標；再由待定系數法求出拋物線的解析式．
（2）由（1）的拋物線解析式能求出頂點D的坐標，然后求出AB、AD、BD三邊的長，據此判斷△ABD的形狀．
（3）應分三種情況：
①過點D作AB的平行線PD，那么點P為直線PD與x或y軸的交點；可先求出∠OPD的度數，根據這個特殊度數來求出OP的長，由此得出點P的坐標；
②過點B作AD的平行線BP，此時△OBP、△EDA（如圖）相似，根據相似三角形得到的比例線段求出OP的長，據此求出點P的坐標；
③過點A作BD的平行線AP，解題思路同①．
點評：此題主要考查了利用待定系數法確定函數解析式、直角三角形的判定、梯形的判定等綜合知識；最后一題的解題方法較多，還可以先求出另一底的直線解析式，再求出直線與坐標軸的交點即可．