Question

已知圓P的圓心在反比例函數y=

k

x

（k＞1）圖象上，并與x軸相交于A、B兩點．且始終與y軸相切于定點C（0，1）．
（1）求經過A、B、C三點的二次函數圖象的解析式；
（2）若二次函數圖象的頂點為D，問當k為何值時，四邊形ADBP為菱形．

Answer 1

分析：（1）連接PC、PA、PB，過P點作PH⊥x軸，垂足為H．易得PC⊥y軸，進而可得P的坐標，在Rt△APH中，根據勾股定理可得AB點坐標關于k的表達式，即可得答案；
（2）由（1）知拋物線頂點D坐標為（k，1-k²）；故DH=k²-1．若四邊形ADBP為菱形．則必有PH=DH；代入k，易得k=

2

時，PH=DH．故可得答案．

解答：
解：（1）連接PC、PA、PB，過P點作PH⊥x軸，垂足為H．（1分）
∵⊙P與y軸相切于點C（0，1），
∴PC⊥y軸．
∵P點在反比例函數y=

k

x

的圖象上，
∴P點坐標為（k，1）．（2分）
∴PA=PC=k．
在Rt△APH中，AH=

PA2-PH2

=

k2-1

，
∴OA=OH-AH=k-

k2-1

．
∴A（k-

k2-1

，0）．（3分）
∵由⊙P交x軸于A、B兩點，且PH⊥AB，由垂徑定理可知，PH垂直平分AB．
∴OB=OA+2AH=k-

k2-1

+2

k2-1

=k+

k2-1

，
∴B（k+

k2-1

，0）．（4分）
故過A、B兩點的拋物線的對稱軸為PH所在的直線解析式為x=k．
可設該拋物線解析式為y=a（x-k）²+h．（5分）
又∵拋物線過C（0，1），B（k+

k2-1

，0），
∴得：

ak2+h=1 a(k+ k2-1 -k)2+h=0

解得a=1，h=1-k²．（7分）
∴拋物線解析式為y=（x-k）²+1-k²．（8分）

（2）由（1）知拋物線頂點D坐標為（k，1-k²）
∴DH=k²-1．
若四邊形ADBP為菱形．則必有PH=DH．（10分）
∵PH=1，
∴k²-1=1．
又∵k＞1，
∴k=

2

（11分）
∴當k取

2

時，PD與AB互相垂直平分，則四邊形ADBP為菱形．（12分）

點評：此題綜合考查了反比例函數，正比例函數等多個知識點．此題難度稍大，綜合性比較強，注意對各個知識點的靈活應用．