Question

【題目】已知x1，x2是關于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的兩實根．

(1)若(x1－1)(x2－1)＝28，求m的值；

(2)已知等腰△ABC的一邊長為7，若x1，x2恰好是△ABC另外兩邊的邊長，求這個三角形的周長．

【答案】（1）m的值為6;（2）17.

【解析】試題分析：

（1）由題意和根與系數的關系可得：x1＋x2＝2(m＋1)，x1x2＝m2＋5；由(x1－1)(x2－1)＝28，可得：x1x2－(x1＋x2)＝27；從而得到：m2＋5－2(m＋1)＝27，解方程求得m的值，再由“一元二次方程根的判別式”進行檢驗即可得到m的值；

（2）①當7為腰長時，則方程的兩根中有一根為7，代入方程可解得m的值（此時m的取值需滿足根的判別式△ ），將m的值代入原方程，可求得兩根（此時兩根和7需滿足三角形三邊之間的關系），從而可求得等腰三角形的周長；

②當7為底邊時，則方程的兩根相等，由此可得“根的判別式△=0”，從而可得關于m的方程，解方程求得m的值，代入原方程可求得方程的兩根，再由三角形三邊之間的關系檢驗即可.

試題解析：

(1)(x1－1)(x2－1)＝28，即x1x2－(x1＋x2)＝27，而x1＋x2＝2(m＋1)，x1x2＝m2＋5，

∴m2＋5－2(m＋1)＝27，

解得m1＝6，m2＝－4，

又Δ＝[－2(m＋1)]2－4×1×(m2＋5)≥0時，m≥2，

∴m的值為6;　

(2) 若7為腰長，則方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的一根為7，

即72－2×7×(m＋1)＋m2＋5＝0，

解得m1＝10，m2＝4，

當m＝10時，方程x2－22x＋105＝0，根為x1＝15，x2＝7，不符合題意，舍去．

當m＝4時，方程為x2－10x＋21＝0，根為x1＝3，x2＝7，此時周長為7＋7＋3＝17　

若7為底邊，則方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0有兩等根，

∴Δ＝0，解得m＝2，此時方程為x2－6x＋9＝0，根為x1＝3，x2＝3，3＋3<7，不成立，

綜上所述，三角形周長為17

點睛：（1）一元二次方程根與系數的關系成立的前提條件是方程要有實數根，即“根的判別式△ ”；（2）涉及三角形邊長的問題中，解得的結果都需要用“三角形三邊之間的關系”檢驗，看三條線段能否圍成三角形.

【題型】解答題
【結束】
21

【題目】如圖，已知在△ABC中，D是AB的中點，且∠ACD=∠B，若 AB=10，求AC的長．

Answer 1

【答案】5.

【解析】試題分析：

由點D是AB的中點，AB=10，易得AD=5；再由∠ACD=∠B，∠A=∠A，可證得：

△ACD∽△ABC，從而可得： ，由此得到：AC2=ADAB=50即可解得AC的值.

試題解析：

∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，

∴△ACD∽△ABC．

∴，

∴AC2=ADAB.

∵D是AB的中點，AB=10，

∴AD=AB=5,

∴AC2=50．

解得AC=.